Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

Étape 1.2

Résolvez $e^{2 x} = e^{5 x}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 x = 5 x$

Étape 1.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 5 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Soustrayez $5 x$ de $2 x$ .

$- 3 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = 0$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = 0$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 1.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 1.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Étape 1.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 3$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = e^{5 (0)}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $e^{5 (0)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$y = e^{0}$

Étape 1.3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Étape 3.4

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Alors $d u_{1} = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Laissez $u_{1} = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 3.4.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 3.4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Étape 3.4.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 3.4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Étape 3.4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Étape 3.5

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Étape 3.6

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Étape 3.7

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Étape 3.9

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Laissez $u_{2} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.9.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 3.9.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.9.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Étape 3.9.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 3.9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Étape 3.9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 3.10

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 3.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 3.12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Étape 3.13

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.1

Évaluez $e^{u_{1}}$ sur $5$ et sur $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Étape 3.13.2

Évaluez $e^{u_{2}}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Étape 3.13.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Étape 3.13.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Étape 3.13.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 3.13.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Étape 3.14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Étape 3.14.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Étape 3.14.1.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Étape 3.14.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Étape 3.14.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.14.1.6

Associez $e^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 3.14.1.7

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 3.14.1.7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.14.2

Pour écrire $- \frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.14.3

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.14.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.4.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.14.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.14.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Étape 3.14.4.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Étape 3.14.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

Étape 3.14.6

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

Étape 4