Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 - x$ , $x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ dans chaque équation.

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Étape 1.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = 6 - x$ par $\frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ .

$y = 6 - (\frac{{(y - 6)}^{2}}{10})$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.1

Simplifiez $6 - (\frac{{(y - 6)}^{2}}{10})$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$y = 6 \cdot \frac{10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Associez $6$ et $\frac{10}{10}$ .

$y = \frac{6 \cdot 10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{6 \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{6 \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.1.3.1

Multipliez $6$ par $10$ .

$y = \frac{60 - {(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.2

Réécrivez ${(y - 6)}^{2}$ comme $(y - 6) (y - 6)$ .

$y = \frac{60 - ((y - 6) (y - 6))}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.3

Développez $(y - 6) (y - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{60 - (y (y - 6) - 6 (y - 6))}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{60 - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6))}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{60 - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1.3.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.4.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $y$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} - 6 y - 6 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - (y^{2} - 6 y - 6 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.4.2

Soustrayez $6 y$ de $- 6 y$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} - 12 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - (y^{2} - 12 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{60 - y^{2} - (- 12 y) - 1 \cdot 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.1.2.1.3.6.1

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$y = \frac{60 - y^{2} + 12 y - 1 \cdot 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$y = \frac{60 - y^{2} + 12 y - 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - y^{2} + 12 y - 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.3.7

Soustrayez $36$ de $60$ .

$y = \frac{- y^{2} + 12 y + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{- y^{2} + 12 y + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.1.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$y = \frac{- (y^{2}) + 12 y + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $12 y$ .

$y = \frac{- (y^{2}) - (- 12 y) + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - (- 12 y)$ .

$y = \frac{- (y^{2} - 12 y) + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.4.4

Réécrivez $24$ comme $- 1 (- 24)$ .

$y = \frac{- (y^{2} - 12 y) - 1 \cdot - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2} - 12 y) - 1 (- 24)$ .

$y = \frac{- (y^{2} - 12 y - 24)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.1.4.6.1

Réécrivez $- (y^{2} - 12 y - 24)$ comme $- 1 (y^{2} - 12 y - 24)$ .

$y = \frac{- 1 (y^{2} - 12 y - 24)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.1.2.1.4.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ dans $y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez les deux côtés par $10$ .

$y \cdot 10 = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.2

Simplifiez

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1.1

Déplacez $10$ à gauche de $y$ .

$10 y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez $- \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$ dans le numérateur.

$10 y = \frac{- (y^{2} - 12 y - 24)}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$10 y = \frac{- (y^{2} - 12 y - 24)}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$10 y = - (y^{2} - 12 y - 24)$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - (y^{2} - 12 y - 24)$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 y = - y^{2} - (- 12 y) + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 1.2.2.2.1.3.1

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.2.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- y^{2} + 12 y + 24 = 10 y$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $10 y$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} + 12 y + 24 - 10 y = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.2.2

Soustrayez $10 y$ de $12 y$ .

$- y^{2} + 2 y + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- y^{2} + 2 y + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2} + 2 y + 24$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + 2 y + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3.1.3

Réécrivez $24$ comme $- 1 (- 24)$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - (- 2 y)$ .

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 24)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 24) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- (y^{2} - 2 y - 24) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3.2

Factorisez.

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Étape 1.2.3.3.2.1

Factorisez $y^{2} - 2 y - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.3.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 6, 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((y - 6) (y + 4)) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- ((y - 6) (y + 4)) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (y - 6) (y + 4) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- (y - 6) (y + 4) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- (y - 6) (y + 4) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.5

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.6

Définissez $y + 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Définissez $y + 4$ égal à $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.2.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (y - 6) (y + 4) = 0$ vraie.

$y = 6, - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6, - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6, - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $6$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ par $6$ .

$x = \frac{{((6) - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez $\frac{{((6) - 6)}^{2}}{10}$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1.1.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$x = \frac{0^{2}}{10}$

$y = 6$

Étape 1.3.2.1.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = \frac{0}{10}$

$y = 6$

$x = \frac{0}{10}$

$y = 6$

Étape 1.3.2.1.2

Divisez $0$ par $10$ .

$x = 0$

$y = 6$

$x = 0$

$y = 6$

$x = 0$

$y = 6$

$x = 0$

$y = 6$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 4$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ par $- 4$ .

$x = \frac{{((- 4) - 6)}^{2}}{10}$

$y = - 4$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez $\frac{{((- 4) - 6)}^{2}}{10}$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.1.1.1

Soustrayez $6$ de $- 4$ .

$x = \frac{{(- 10)}^{2}}{10}$

$y = - 4$

Étape 1.4.2.1.1.2

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{100}{10}$

$y = - 4$

$x = \frac{100}{10}$

$y = - 4$

Étape 1.4.2.1.2

Divisez $100$ par $10$ .

$x = 10$

$y = - 4$

$x = 10$

$y = - 4$

$x = 10$

$y = - 4$

$x = 10$

$y = - 4$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 6)$

$(10, - 4)$

$(0, 6)$

$(10, - 4)$

Étape 2

Résolvez $y = 6 - x$ en termes de $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $6 - x = y$ .

$6 - x = y$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x = y - 6$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- x = y - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = y - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{y}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot y + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot y$ comme $- y$ .

$x = - y + \frac{- 6}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x = - y + 6$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 4}^{6} - y + 6 d y - \int_{- 4}^{6} \frac{{(y - 6)}^{2}}{10} d y$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 4$ et $6$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 4}^{6} - y + 6 - (\frac{{(y - 6)}^{2}}{10}) d y$

Étape 4.2

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\int_{- 4}^{6} - y \cdot \frac{10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10} + 6 d y$

Étape 4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1

Associez $- y$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{- y \cdot 10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10} + 6$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- y \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10} + 6$

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10} + 6 d y$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 y - {(y - 6)}^{2}}{10} + 6$

Étape 4.4.2

Réécrivez ${(y - 6)}^{2}$ comme $(y - 6) (y - 6)$ .

$\frac{- 10 y - ((y - 6) (y - 6))}{10} + 6$

Étape 4.4.3

Développez $(y - 6) (y - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 y - (y (y - 6) - 6 (y - 6))}{10} + 6$

Étape 4.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 y - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6))}{10} + 6$

Étape 4.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 y - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10} + 6$

Étape 4.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.4.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10} + 6$

Étape 4.4.4.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $y$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10} + 6$

Étape 4.4.4.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} - 6 y - 6 y + 36)}{10} + 6$

Étape 4.4.4.2

Soustrayez $6 y$ de $- 6 y$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} - 12 y + 36)}{10} + 6$

Étape 4.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 y - y^{2} - (- 12 y) - 1 \cdot 36}{10} + 6$

Étape 4.4.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.6.1

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 y - y^{2} + 12 y - 1 \cdot 36}{10} + 6$

Étape 4.4.6.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$\frac{- 10 y - y^{2} + 12 y - 36}{10} + 6$

Étape 4.4.7

Additionnez $- 10 y$ et $12 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + 6$

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + 6 d y$

Étape 4.5

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + 6 \cdot \frac{10}{10} d y$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.6.1

Associez $6$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + \frac{6 \cdot 10}{10}$

Étape 4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36 + 6 \cdot 10}{10}$

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y^{2} + 2 y - 36 + 6 \cdot 10}{10} d y$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $6$ par $10$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36 + 60}{10}$

Étape 4.7.2

Additionnez $- 36$ et $60$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y + 24}{10}$

Étape 4.7.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.7.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 4.7.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 (y) + 24}{10}$

Étape 4.7.3.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 4$ plus $6$

$\frac{- y^{2} + (- 4 + 6) y + 24}{10}$

Étape 4.7.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- y^{2} - 4 y + 6 y + 24}{10}$

Étape 4.7.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.7.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- y^{2} - 4 y) + 6 y + 24}{10}$

Étape 4.7.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y (- y - 4) - 6 (- y - 4)}{10}$

Étape 4.7.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- y - 4$ .

$\frac{(- y - 4) (y - 6)}{10}$

$\int_{- 4}^{6} \frac{(- y - 4) (y - 6)}{10} d y$

Étape 4.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(- (y) - 4) (y - 6)}{10}$

Étape 4.8.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{(- (y) - 1 (4)) (y - 6)}{10}$

Étape 4.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (4)$ .

$\frac{- (y + 4) (y - 6)}{10}$

Étape 4.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.8.4.1

Réécrivez $- (y + 4)$ comme $- 1 (y + 4)$ .

$\frac{- 1 (y + 4) (y - 6)}{10}$

Étape 4.8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(y + 4) (y - 6)}{10}$

$\int_{- 4}^{6} - \frac{(y + 4) (y - 6)}{10} d y$

Étape 4.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 4}^{6} \frac{(y + 4) (y - 6)}{10} d y$

Étape 4.10

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} (y + 4) (y - 6) d y)$

Étape 4.11

Simplifiez

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Étape 4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y (y - 6) + 4 (y - 6) d y$

Étape 4.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y \cdot y + y \cdot - 6 + 4 (y - 6) d y$

Étape 4.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y \cdot y + y \cdot - 6 + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Étape 4.11.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 6$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y \cdot y - 6 \cdot y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Étape 4.11.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{1} y - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Étape 4.11.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{1} y^{1} - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Étape 4.11.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{1 + 1} - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Étape 4.11.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{2} - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Étape 4.11.9

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{2} - 6 y + 4 y - 24 d y$

Étape 4.11.10

Additionnez $- 6 y$ et $4 y$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{2} - 2 y - 24 d y$

Étape 4.12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{10} (\int_{- 4}^{6} y^{2} d y + \int_{- 4}^{6} - 2 y d y + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Étape 4.13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} + \int_{- 4}^{6} - 2 y d y + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Étape 4.14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} - 2 \int_{- 4}^{6} y d y + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Étape 4.15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Étape 4.16

Simplifiez

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Étape 4.16.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Étape 4.16.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{y^{3}}{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Étape 4.17

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{10} (\frac{y^{3}}{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + - 24 y]_{- 4}^{6})$

Étape 4.18

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.18.1

Associez $\frac{y^{3}}{3}]_{- 4}^{6}$ et $- 24 y]_{- 4}^{6}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{y^{3}}{3} - 24 y]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}))$

Étape 4.18.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.18.2.1

Évaluez $\frac{y^{3}}{3} - 24 y$ sur $6$ et sur $- 4$ .

$- \frac{1}{10} ((\frac{6^{3}}{3} - 24 \cdot 6) - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}))$

Étape 4.18.2.2

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $6$ et sur $- 4$ .

$- \frac{1}{10} ((\frac{6^{3}}{3} - 24 \cdot 6) - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3

Simplifiez

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Étape 4.18.2.3.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{216}{3} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.2

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{3 \cdot 72}{3} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.18.2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{10} (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{10} (\frac{72}{1} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.2.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$- \frac{1}{10} (72 - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.3

Multipliez $- 24$ par $6$ .

$- \frac{1}{10} (72 - 144 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.4

Soustrayez $144$ de $72$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.5

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (\frac{- 64}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.7

Multipliez $- 24$ par $- 4$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} + 96) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.8

Pour écrire $96$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.9

Associez $96$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{10} (- 72 - \frac{- 64 + 96 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.18.2.3.11.1

Multipliez $96$ par $3$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - \frac{- 64 + 288}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.11.2

Additionnez $- 64$ et $288$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - \frac{224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.12

Pour écrire $- 72$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 \cdot \frac{3}{3} - \frac{224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.13

Associez $- 72$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{- 72 \cdot 3}{3} - \frac{224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{10} (\frac{- 72 \cdot 3 - 224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.18.2.3.15.1

Multipliez $- 72$ par $3$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{- 216 - 224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.15.2

Soustrayez $224$ de $- 216$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{- 440}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.17

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.18

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 4.18.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.18.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.18.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Étape 4.18.2.3.19

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{16}{2}))$

Étape 4.18.2.3.20

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 4.18.2.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

Étape 4.18.2.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.18.2.3.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

Étape 4.18.2.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

Étape 4.18.2.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{8}{1}))$

Étape 4.18.2.3.20.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - 1 \cdot 8))$

Étape 4.18.2.3.21

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - 8))$

Étape 4.18.2.3.22

Soustrayez $8$ de $18$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 \cdot 10)$

Étape 4.18.2.3.23

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 20)$

Étape 4.18.2.3.24

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 4.18.2.3.25

Associez $- 20$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3})$

Étape 4.18.2.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 440 - 20 \cdot 3}{3}$

Étape 4.18.2.3.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.18.2.3.27.1

Multipliez $- 20$ par $3$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 440 - 60}{3}$

Étape 4.18.2.3.27.2

Soustrayez $60$ de $- 440$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 500}{3}$

Étape 4.18.2.3.28

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{10} (- \frac{500}{3})$

Étape 4.18.2.3.29

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{10}) \frac{500}{3}$

Étape 4.18.2.3.30

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{3}$

Étape 4.18.2.3.31

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{500}{3}$ .

$\frac{500}{10 \cdot 3}$

Étape 4.18.2.3.32

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{500}{30}$

Étape 4.18.2.3.33

Annulez le facteur commun à $500$ et $30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.3.33.1

Factorisez $10$ à partir de $500$ .

$\frac{10 (50)}{30}$

Étape 4.18.2.3.33.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.2.3.33.2.1

Factorisez $10$ à partir de $30$ .

$\frac{10 \cdot 50}{10 \cdot 3}$

Étape 4.18.2.3.33.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 \cdot 50}{10 \cdot 3}$

Étape 4.18.2.3.33.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{50}{3}$

Étape 5