Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x$ , $y = 5 x^{2}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$2 x = 5 x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $2 x = 5 x^{2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $5 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 5 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$2 u - 5 u^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $2 u - 5 u^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u$ .

$u \cdot 2 - 5 u^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- 5 u^{2}$ .

$u \cdot 2 + u (- 5 u) = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 2 + u (- 5 u)$ .

$u (2 - 5 u) = 0$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (2 - 5 x) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x = 0 + y = 5 x^{2}$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $2 - 5 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2 - 5 x$ égal à $0$ .

$2 - 5 x = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 - 5 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x = - 2$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 2$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 2$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{2}{5}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 - 5 x) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{2}{5}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 5 {(0)}^{2}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = 5 {(0)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 \cdot 0^{2}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $5 \cdot 0^{2}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 5 \cdot 0$

Étape 1.3.2.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = \frac{2}{5}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{2}{5}$ .

$y = 5 {(\frac{2}{5})}^{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $5 {(\frac{2}{5})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$y = 5 \frac{2^{2}}{5^{2}}$

Étape 1.4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 5 \frac{4}{5^{2}}$

Étape 1.4.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = 5 (\frac{4}{25})$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$y = 5 \frac{4}{5 (5)}$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 5 \frac{4}{5 \cdot 5}$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4}{5}$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$

$(0, 0)$

$(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x d x - \int_{0}^{\frac{2}{5}} 5 x^{2} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $\frac{2}{5}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x - (5 x^{2}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x - 5 x^{2} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x d x + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{\frac{2}{5}} x d x + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Étape 3.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) - 5 \int_{0}^{\frac{2}{5}} x^{2} d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{2}{5}})$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{2}{5}})$

Étape 3.9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{2}{5}$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{2}{5}})$

Étape 3.9.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $\frac{2}{5}$ et sur $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3

Simplifiez

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Étape 3.9.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 0) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} + 0) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.4

Additionnez $\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2}$ et $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 3.9.2.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 3.9.2.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 3.9.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 3.9.2.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - 0)$

Étape 3.9.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} + 0)$

Étape 3.9.2.3.8

Additionnez $\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$ et $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Étape 3.9.3

Simplifiez

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Étape 3.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Étape 3.9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2}{5})}^{2} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Étape 3.9.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2^{2}}{5^{2}} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Étape 3.9.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{5^{2}} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Étape 3.9.3.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Étape 3.9.3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.3.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{\frac{2^{3}}{5^{3}}}{3}$

Étape 3.9.3.1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{\frac{8}{5^{3}}}{3}$

Étape 3.9.3.1.5.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{\frac{8}{125}}{3}$

Étape 3.9.3.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4}{25} - 5 (\frac{8}{125} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 3.9.3.1.7

Multipliez $\frac{8}{125} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.9.3.1.7.1

Multipliez $\frac{8}{125}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{8}{125 \cdot 3}$

Étape 3.9.3.1.7.2

Multipliez $125$ par $3$ .

$\frac{4}{25} - 5 (\frac{8}{375})$

Étape 3.9.3.1.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.9.3.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{4}{25} + 5 (- 1) \frac{8}{375}$

Étape 3.9.3.1.8.2

Factorisez $5$ à partir de $375$ .

$\frac{4}{25} + 5 \cdot - 1 \frac{8}{5 \cdot 75}$

Étape 3.9.3.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{25} + 5 \cdot - 1 \frac{8}{5 \cdot 75}$

Étape 3.9.3.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{25} - \frac{8}{75}$

Étape 3.9.3.2

Pour écrire $\frac{4}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{75}$

Étape 3.9.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $75$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.9.3.3.1

Multipliez $\frac{4}{25}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{8}{75}$

Étape 3.9.3.3.2

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{75} - \frac{8}{75}$

Étape 3.9.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 3 - 8}{75}$

Étape 3.9.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.3.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 - 8}{75}$

Étape 3.9.3.5.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$\frac{4}{75}$

Étape 4