Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Étape 1.2.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

Étape 1.2.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.1.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2.1.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x = x$

Étape 1.2.1.7

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

Étape 1.2.1.8

Le plus petit multiple commun de $x^{1}, x^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2.1.9

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\frac{1}{1^{2}}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{1}{1}$

Étape 1.3.2.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$y = 1$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $2$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3.6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3.6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.8.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.8.1.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 3.8.1.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.8.1.3

Simplifiez

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Étape 3.8.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 3.8.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 3.8.1.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 3.8.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Étape 3.8.1.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.3

Simplifiez

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Étape 3.8.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.3.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

Étape 4