Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x}$ ; $x = 1$ ; $y = \frac{1}{2}$ ; $x = 0$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 2 + y = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.1.2

Since $x, 2$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2$ then find LCM for the variable part $x^{1}$ .

Étape 1.2.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

Étape 1.2.1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.1.5

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 1.2.1.6

Le plus petit multiple commun de $1, 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 + y = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.1.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x = x$

Étape 1.2.1.8

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x + y = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.1.9

Le plus petit multiple commun pour $x, 2$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 x + y = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ par $2 x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{x} (2 x) = \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.2.2.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.2.2.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.2.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 = \frac{1}{2} (2 (x))$

Étape 1.2.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 1.2.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 = x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’équation comme $x = 2$ .

$x = 2$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, \frac{1}{2})$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - (\frac{1}{2}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - \frac{1}{2} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

Étape 3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

Étape 3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Associez $\ln (| x |)]_{0}^{1}$ et $- \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

Étape 3.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez $\ln (| x |) - \frac{1}{2} x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} \cdot 1) - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez

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Étape 3.6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 3.6.2.2.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 3.6.2.2.3

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0)$

Étape 3.6.2.2.4

Additionnez $\ln (| 0 |)$ et $0$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - \ln (| 0 |)$

Étape 3.6.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |}) - \frac{1}{2}$

Étape 3.6.4

Simplifiez

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Étape 3.6.4.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Étape 3.6.4.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Étape 3.6.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Étape 3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4