Calcul infinitésimal Exemples

$r = 13 \cos (θ)$ , $r = 6 + \cos (θ)$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$

Étape 1.2

Résolvez $13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$ pour $θ$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $\cos (θ)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $\cos (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$13 \cos (θ) - \cos (θ) = 6$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $\cos (θ)$ de $13 \cos (θ)$ .

$12 \cos (θ) = 6$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $12 \cos (θ) = 6$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 \cos (θ) = 6$ par $12$ .

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{12}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $12$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\cos (θ) = \frac{6 (1)}{12}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 1.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 1.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 1.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 1.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Évaluez $r$ quand $θ = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $θ$ par $\frac{π}{3} + 2 π n$ .

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.3.2

Remplacez $θ$ par $\frac{π}{3} + 2 π n$ dans $r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$ et résolvez $r$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.3.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{π}{3}$ et $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3})$

Étape 1.4

Évaluez $r$ quand $θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $θ$ par $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.4.2

Remplacez $θ$ par $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ dans $r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$ et résolvez $r$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Étape 1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{5 π}{3}$ et $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3})$

Étape 1.5

La solution du système d’équations est l’ensemble des valeurs qui rendent le système vrai.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Étape 1.6

Indiquez toutes les solutions.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3