Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$8 = \sqrt{x}$

Étape 1.2

Résolvez $8 = \sqrt{x}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

Étape 1.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 8^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Simplifiez

$x = 8^{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = 64$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 64$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $64$ .

$y = \sqrt{64}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $\sqrt{64}$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{64}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 8$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(64, 8)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $64$ .

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Étape 3.1

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $64$ .

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Étape 3.1.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Étape 3.1.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Étape 3.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Étape 3.1.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Étape 3.1.6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Étape 3.1.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.7.1

Associez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ et $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Étape 3.1.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1.7.2.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ sur $64$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2

Simplifiez

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Étape 3.1.7.2.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.7.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.6

Multipliez $2$ par $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.7

Multipliez $- 8$ par $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.8

Pour écrire $- 512$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.9

Associez $- 512$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.7.2.2.11.1

Multipliez $- 512$ par $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.11.2

Soustrayez $1536$ de $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.13

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.7.2.2.15.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.15.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.16

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.17

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Étape 3.1.7.2.2.18

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Étape 3.1.7.2.2.19

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Étape 3.1.7.2.2.20

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Étape 3.1.7.2.2.21

Additionnez $- \frac{512}{3}$ et $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Étape 3.2

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Étape 3.5

Appliquez la règle de la constante.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Étape 3.7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Étape 3.9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.2.1

Évaluez $8 x$ sur $64$ et sur $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Étape 3.9.2.2

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $64$ et sur $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3

Simplifiez

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Étape 3.9.2.3.1

Multipliez $8$ par $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.2

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.3

Additionnez $512$ et $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.4

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.9.2.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.7

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.8

Multipliez $2$ par $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.9

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 3.9.2.3.10

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 3.9.2.3.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.9.2.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 3.9.2.3.11.2

Réécrivez l’expression.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Étape 3.9.2.3.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Étape 3.9.2.3.13

Multipliez $2$ par $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 3.9.2.3.14

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 3.9.2.3.14.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 3.9.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 3.9.2.3.14.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Étape 3.9.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Étape 3.9.2.3.16

Additionnez $\frac{1024}{3}$ et $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Étape 3.9.2.3.17

Pour écrire $512$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Étape 3.9.2.3.18

Associez $512$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Étape 3.9.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Étape 3.9.2.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.2.3.20.1

Multipliez $512$ par $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Étape 3.9.2.3.20.2

Soustrayez $1024$ de $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Étape 4