Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - 2$ , $x = 1$ , $x = 2$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} = 2 x - 2$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} = 2 x - 2$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x = - 2$

Étape 1.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Étape 1.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x - 2$

Étape 1.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x - 2$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i$

Étape 1.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i, 1 - i$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1 + i$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1 + i$ .

$y = 2 (1 + i) - 2$

Étape 1.3.2

Simplifiez $2 (1 + i) - 2$ .

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 \cdot 1 + 2 i - 2$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = 2 + 2 i - 2$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.3.2.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$y = 0 + 2 i$

Étape 1.3.2.2.2

Additionnez $0$ et $2 i$ .

$y = 2 i$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1 - i$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1 - i$ .

$y = 2 (1 - i) - 2$

Étape 1.4.2

Simplifiez $2 (1 - i) - 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 \cdot 1 + 2 (- i) - 2$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = 2 + 2 (- i) - 2$

Étape 1.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = 2 - 2 i - 2$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$y = 0 - 2 i$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $2 i$ de $0$ .

$y = - 2 i$

Étape 1.5

Indiquez toutes les solutions.

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} d x - \int_{1}^{2} 2 x - 2 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $2$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{2} x^{2} - (2 x - 2) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - (2 x) - - 2$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} - 2 x - - 2$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 2$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 2 x + 2 d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Étape 3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Étape 3.8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 2 x]_{1}^{2}$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ et $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 3.9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 3.9.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3

Simplifiez

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Étape 3.9.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.5

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.2.3.7.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.7.2

Additionnez $8$ et $12$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.9

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.11

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.12

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.2.3.14.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 6}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.14.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{20}{3} - \frac{7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 - 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.16

Soustrayez $7$ de $20$ .

$\frac{13}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.18

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.9.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.18.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 3.9.2.3.19

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Étape 3.9.2.3.20

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 3.9.2.3.21

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 3.9.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13}{3} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 3.9.2.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.2.3.23.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Étape 3.9.2.3.23.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{3}{2})$

Étape 3.9.2.3.24

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Étape 3.9.2.3.25

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 6}{2}$

Étape 3.9.2.3.26

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 3.9.2.3.26.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Étape 3.9.2.3.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 3.9.2.3.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.9.2.3.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{3} + \frac{- 3}{1}$

Étape 3.9.2.3.26.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\frac{13}{3} - 3$

Étape 3.9.2.3.27

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.9.2.3.28

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.9.2.3.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.9.2.3.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.2.3.30.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{13 - 9}{3}$

Étape 3.9.2.3.30.2

Soustrayez $9$ de $13$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 4