Calcul infinitésimal Exemples

$v (t) = 3 t^{2} - e^{t}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Écrivez $v (t) = 3 t^{2} - e^{t}$ comme une équation.

$y = 3 t^{2} - e^{t}$

Étape 2

Remplacez en utilisant la formule du taux de variation moyen.

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Étape 2.1

Le taux de variation moyen d’une fonction peut être déterminé en calculant la variation de $y$ valeurs des deux points divisée par la variation de $t$ valeurs des deux points.

$\frac{f (2) - f (0)}{(2) - (0)}$

Étape 2.2

Remplacez l’équation $y = 3 t^{2} - e^{t}$ pour $f (2)$ et $f (0)$ , en remplaçant $t$ dans la fonction avec la valeur $t$ correspondante.

$\frac{(3 {(2)}^{2} - e^{2}) - (3 {(0)}^{2} - e^{0})}{(2) - (0)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - e^{2} - (3 \cdot 0^{2} - e^{0})}{2 - (0)}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 - e^{2} - (3 \cdot 0^{2} - e^{0})}{2 - (0)}$

Étape 3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{12 - e^{2} - (3 \cdot 0 - e^{0})}{2 - (0)}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{12 - e^{2} - (0 - e^{0})}{2 - (0)}$

Étape 3.1.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{12 - e^{2} - (0 - 1 \cdot 1)}{2 - (0)}$

Étape 3.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{12 - e^{2} - (0 - 1)}{2 - (0)}$

Étape 3.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{12 - e^{2} - - 1}{2 - (0)}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{12 - e^{2} + 1}{2 - (0)}$

Étape 3.1.6

Additionnez $12$ et $1$ .

$\frac{- e^{2} + 13}{2 - (0)}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- e^{2} + 13}{2 + 0}$

Étape 3.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- e^{2} + 13}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{2}$ .

$\frac{- (e^{2}) + 13}{2}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $13$ comme $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (e^{2}) - 1 (- 13)}{2}$

Étape 3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{2}) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (e^{2} - 13)}{2}$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez $- (e^{2} - 13)$ comme $- 1 (e^{2} - 13)$ .

$\frac{- 1 (e^{2} - 13)}{2}$

Étape 3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{2} - 13}{2}$