Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Développez $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.2.1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.5

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.4.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.1.4.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.2.1.8.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.2.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.2.1.10.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.10.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.2.1.10.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.1.10.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.1.1.4.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.2.2

Additionnez $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.2.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.2.4

Additionnez $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2$ .

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Étape 2.1.1.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Étape 2.1.2.2

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Différenciez.

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Étape 2.1.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.8.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.8.4.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7.5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.7.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7.5.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.7.5.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7.5.3

Associez $2$ et $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.2

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.7.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.9.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.10

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.11

Développez $(- 4 x - 4) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.12.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.12.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.12.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.12.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.12.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.12.2

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.12.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.13.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.13.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.13.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x^{1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.13.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.13.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.13.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.14

Développez $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.2

Additionnez $- 4 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.15.3

Additionnez $- 4 x^{5}$ et $0$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.17

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.1.18

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.2

Soustrayez $8 x^{5}$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.4.3

Additionnez $4 x$ et $8 x$ .

$\frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.8.5.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.8.5.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{5}$ .

$\frac{4 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x^{3}$ .

$\frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $12 x$ .

$\frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2})$ .

$\frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)$ .

$\frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{4 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.8.5.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.1.2.8.5.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$\frac{4 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.4.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$\frac{4 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.8.5.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{4 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{4 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 1$ .

$\frac{4 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{4 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.6

Annulez le facteur commun à $- x^{2} - 1$ et ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 2.1.2.8.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{4 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{4 x (- (x^{2}) - 1 (1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{4 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.6.4

Réécrivez $- (x^{2} + 1)$ comme $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.6.5

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8.6.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.8.6.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.8.6.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.8.6.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.8.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.8.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.3.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.2.3.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{17^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $17$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{4913}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 (16 - 3)}{4913}$

Étape 5.2.3.2

Soustrayez $3$ de $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 \cdot 13}{4913}$

Étape 5.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 16$ par $13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 208}{4913}$

Étape 5.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = \frac{208}{4913}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{208}{4913}$ .

$\frac{208}{4913}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = - \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 (1 - 3)}{8}$

Étape 6.2.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 \cdot - 2}{8}$

Étape 6.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f'' (- 1) = - \frac{8}{8}$

Étape 6.2.4.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 1) = - \frac{8}{8}$

Étape 6.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Étape 6.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (- 1) = - 1$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$ car $f'' (- 1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \sqrt{3}, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = - \frac{4 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{8}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = - \frac{4 (1 - 3)}{8}$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (1) = - \frac{4 \cdot - 2}{8}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (1) = - \frac{- 8}{8}$

Étape 7.2.4.2

Divisez $- 8$ par $8$ .

$f'' (1) = 1$

Étape 7.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (1) = 1$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \sqrt{3})$ car $f'' (1)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - \frac{4 (4) ({(4)}^{2} - 3)}{{({(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{{(4^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{17^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $17$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{4913}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (16 - 3)}{4913}$

Étape 8.2.3.2

Soustrayez $3$ de $16$ .

$f'' (4) = - \frac{16 \cdot 13}{4913}$

Étape 8.2.4

Multipliez $16$ par $13$ .

$f'' (4) = - \frac{208}{4913}$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- \frac{208}{4913}$ .

$- \frac{208}{4913}$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\sqrt{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \sqrt{3}, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\sqrt{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 10