Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x - 9}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{x - 9}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{x - 9}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 9}$ comme ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 9$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.7.3

Placez ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.1.1.10

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Étape 2.1.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.1.1.11.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.2.1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 2.1.2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 9$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.7.2

Associez ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.7.3

Placez ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 2.1.2.7.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.2.7.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 2.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.1.2.10

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \sqrt{x - 9}$ .

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Étape 3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 9}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 9 \geq 0$

Étape 3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 9$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[9, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 9}$

Notation d’intervalle :

$[9, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 9}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$[9, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $[9, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f'' (12) = - \frac{1}{4 {((12) - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $9$ de $12$ .

$f'' (12) = - \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $[9, \infty)$ car $f'' (12)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $[9, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6