Calcul infinitésimal Exemples

$6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Étape 1

Écrivez $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ comme une fonction.

$f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Étape 2.1.1.2.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$6 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Étape 2.1.1.3.3

Comme $- \frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Étape 2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

Étape 2.1.1.3.4.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ et $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.4

Élevez $\sec (x - \frac{π}{2})$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 ({\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.6

Différenciez.

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Étape 2.1.2.6.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.6.4

Comme $- \frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.6.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.6.5.2

Multipliez $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ par $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Étape 2.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.7.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.8

Élevez $\tan (x - \frac{π}{2})$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.9

Élevez $\tan (x - \frac{π}{2})$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1} (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Étape 2.1.2.14

Comme $- \frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))$

Étape 2.1.2.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)$

Étape 2.1.2.15.2

Multipliez $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ par $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Étape 2.1.2.16

Simplifiez

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Étape 2.1.2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 6 (\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Étape 2.1.2.16.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.2

Remplacez le $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ par $\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ par $\sec (x - \frac{π}{2})$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ par $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Élevez $\sec (x - \frac{π}{2})$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.3.3

Réécrivez $- 1 \sec (x - \frac{π}{2})$ comme $- \sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Additionnez $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ et $6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$7 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2.5

Remplacez $\sec (x - \frac{π}{2})$ par $u$ .

$7 {(u)}^{3} - (u) = 0$

Étape 2.2.6

Factorisez $u$ à partir de $7 u^{3} - u$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $u$ à partir de $7 u^{3}$ .

$u (7 u^{2}) - u = 0$

Étape 2.2.6.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u (7 u^{2}) + u \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.6.3

Factorisez $u$ à partir de $u (7 u^{2}) + u \cdot - 1$ .

$u (7 u^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$7 u^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2.8

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 2.2.9

Définissez $7 u^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.2.9.1

Définissez $7 u^{2} - 1$ égal à $0$ .

$7 u^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2.9.2

Résolvez $7 u^{2} - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 2.2.9.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$7 u^{2} = 1$

Étape 2.2.9.2.2

Divisez chaque terme dans $7 u^{2} = 1$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 2.2.9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 u^{2} = 1$ par $7$ .

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 2.2.9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Étape 2.2.9.2.2.2.1.2

Divisez $u^{2}$ par $1$ .

$u^{2} = \frac{1}{7}$

Étape 2.2.9.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{\frac{1}{7}}$

Étape 2.2.9.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 2.2.9.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Étape 2.2.9.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

Étape 2.2.9.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 2.2.9.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.9.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 2.2.9.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.9.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 2.2.9.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.2.9.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.9.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.2.9.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.2.9.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.2.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (7 u^{2} - 1) = 0$ vraie.

$u = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.2.11

Remplacez $u$ par $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.2.12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 2.2.13

Résolvez $x$ dans $\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

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Étape 2.2.13.1

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.2.14

Résolvez $x$ dans $\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Étape 2.2.14.1

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $\frac{\sqrt{7}}{7}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.2.15

Résolvez $x$ dans $\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Étape 2.2.15.1

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\sec (x - \frac{π}{2})$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Étape 3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = π n + \frac{π + π}{2}$

Étape 3.2.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Étape 3.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$x = π n + π$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq π n + π}$ , pour tout entier $n$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq π n + π}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle ${x | x \neq π n + π}$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $N a N$ dans l’expression.

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} ((N a N) - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $N$ par $N$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1.1

Déplacez $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N \cdot N a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $N$ par $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $N$ par $N$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N \cdot N a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $N$ par $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $N$ par $N$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.3.1

Déplacez $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N \cdot N a - \frac{π}{2})$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $N$ par $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle ${x | x \neq π n + π}$ car $f'' (N a N)$ est positif.

Concave vers le haut sur ${x | x \neq π n + π}$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5