Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x}$

Étape 1

Écrivez $(x^{2} - 12 x + 37) e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = (x^{2} - 12 x + 37) e^{x}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 12 x + 37$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 37]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 37]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 12 x + 37$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [37]$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [37])$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [37])$

Étape 2.1.1.3.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [37])$

Étape 2.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [37])$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [37])$

Étape 2.1.1.3.6

Comme $37$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $37$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12 + 0)$

Étape 2.1.1.3.7

Additionnez $2 x - 12$ et $0$ .

$(x^{2} - 12 x + 37) e^{x} + e^{x} (2 x - 12)$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 37 e^{x} + e^{x} (2 x - 12)$

Étape 2.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 37 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 12$

Étape 2.1.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.1.4.3.1

Déplacez $- 12$ à gauche de $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 37 e^{x} + e^{x} (2 x) - 12 \cdot e^{x}$

Étape 2.1.1.4.3.2

Additionnez $- 12 x e^{x}$ et $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 2.1.1.4.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 2 x e^{x} + 37 e^{x} - 12 e^{x}$

Étape 2.1.1.4.3.2.2

Additionnez $- 12 x e^{x}$ et $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 37 e^{x} - 12 e^{x}$

Étape 2.1.1.4.3.3

Soustrayez $12 e^{x}$ de $37 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 25 e^{x}$

Étape 2.1.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} - 10 e^{x} x + 25 e^{x}$

Étape 2.1.1.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} - 10 e^{x} x + 25 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 25 e^{x}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 25 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x e^{x}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [25 e^{x}]$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [25 e^{x}]$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 e^{x}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x}) + 25 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x} + e^{x}) + 25 e^{x}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 10 (x e^{x}) - 10 e^{x} + 25 e^{x}$

Étape 2.1.2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.5.2.1

Soustrayez $10 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 2.1.2.5.2.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 10 x e^{x} - 10 e^{x} + 25 e^{x}$

Étape 2.1.2.5.2.1.2

Soustrayez $10 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 10 e^{x} + 25 e^{x}$

Étape 2.1.2.5.2.2

Additionnez $- 10 e^{x}$ et $25 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$

Étape 2.1.2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} - 8 e^{x} x + 15 e^{x}$

Étape 2.1.2.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} - 8 e^{x} x + 15 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 15 e^{x}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 8 x e^{x} + 15 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 8 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 8 x) + 15 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $15 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 8 x) + e^{x} \cdot 15 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 8 x)$ .

$e^{x} (x^{2} - 8 x) + e^{x} \cdot 15 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{2} - 8 x) + e^{x} \cdot 15$ .

$e^{x} (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$e^{x} ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{x} (x - 5) (x - 3) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 5) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 5, 3$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{0} - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

Étape 5.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 8 \cdot 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot e^{0} + 15 e^{0}$

Étape 5.2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot 1 + 15 e^{0}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 15 e^{0}$

Étape 5.2.1.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 15 \cdot 1$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $15$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 15$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 15$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $15$ .

$f'' (0) = 15$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 3)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, 5)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{4} - 8 \cdot 4 \cdot e^{4} + 15 e^{4}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{4} - 8 \cdot 4 \cdot e^{4} + 15 e^{4}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f'' (4) = 16 e^{4} - 32 e^{4} + 15 e^{4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $32 e^{4}$ de $16 e^{4}$ .

$f'' (4) = - 16 e^{4} + 15 e^{4}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 16 e^{4}$ et $15 e^{4}$ .

$f'' (4) = - e^{4}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- e^{4}$ .

$- e^{4}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(3, 5)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(3, 5)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = {(8)}^{2} e^{8} - 8 \cdot 8 \cdot e^{8} + 15 e^{8}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f'' (8) = 64 e^{8} - 8 \cdot 8 \cdot e^{8} + 15 e^{8}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$f'' (8) = 64 e^{8} - 64 e^{8} + 15 e^{8}$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $64 e^{8}$ de $64 e^{8}$ .

$f'' (8) = 0 + 15 e^{8}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $15 e^{8}$ .

$f'' (8) = 15 e^{8}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $15 e^{8}$ .

$15 e^{8}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(5, \infty)$ car $f'' (8)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(5, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(3, 5)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(5, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9