Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{125}{x^{2} + 25}$ , $x = 4$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = \frac{125}{{(4)}^{2} + 25}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{125}{4^{2} + 25}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{125}{{(4)}^{2} + 25}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{125}{16 + 25}$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $16$ et $25$ .

$y = \frac{125}{41}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{125}{41}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $125$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{125}{x^{2} + 25}$ par rapport à $x$ est $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 25}$ comme ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$125 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 25$ .

$125 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$125 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 25$ .

$125 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $125$ .

$- 125 ({(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$- 125 {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 125 {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 2.3.4

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 125 {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 125 {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$- 250 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 250 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 250$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- 250}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{250}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Étape 2.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{250}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 250}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.4.2.4

Déplacez $250$ à gauche de $x$ .

$- \frac{250 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{250 (4)}{{({(4)}^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Multipliez $250$ par $4$ .

$- \frac{1000}{{(4^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1000}{{(16 + 25)}^{2}}$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $16$ et $25$ .

$- \frac{1000}{41^{2}}$

Étape 2.6.2.3

Élevez $41$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1000}{1681}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{1000}{1681}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{125}{41})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{125}{41}) = - \frac{1000}{1681} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{125}{41} = - \frac{1000}{1681} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{1000}{1681} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{125}{41} = 0 + 0 - \frac{1000}{1681} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{125}{41} = - \frac{1000}{1681} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{125}{41} = - \frac{1000}{1681} x - \frac{1000}{1681} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1000}{1681}$ .

$y - \frac{125}{41} = - \frac{x \cdot 1000}{1681} - \frac{1000}{1681} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- \frac{1000}{1681} \cdot - 4$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y - \frac{125}{41} = - \frac{x \cdot 1000}{1681} + 4 (\frac{1000}{1681})$

Étape 3.3.1.5.2

Associez $4$ et $\frac{1000}{1681}$ .

$y - \frac{125}{41} = - \frac{x \cdot 1000}{1681} + \frac{4 \cdot 1000}{1681}$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez $4$ par $1000$ .

$y - \frac{125}{41} = - \frac{x \cdot 1000}{1681} + \frac{4000}{1681}$

Étape 3.3.1.6

Déplacez $1000$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{125}{41} = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{4000}{1681}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{125}{41}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{4000}{1681} + \frac{125}{41}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $\frac{125}{41}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{41}{41}$ .

$y = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{4000}{1681} + \frac{125}{41} \cdot \frac{41}{41}$

Étape 3.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1681$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $\frac{125}{41}$ par $\frac{41}{41}$ .

$y = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{4000}{1681} + \frac{125 \cdot 41}{41 \cdot 41}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $41$ par $41$ .

$y = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{4000}{1681} + \frac{125 \cdot 41}{1681}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{4000 + 125 \cdot 41}{1681}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $125$ par $41$ .

$y = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{4000 + 5125}{1681}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $4000$ et $5125$ .

$y = - \frac{1000 x}{1681} + \frac{9125}{1681}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1000}{1681} x) + \frac{9125}{1681}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1000}{1681} x + \frac{9125}{1681}$

Étape 4