Calcul infinitésimal Exemples

${(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ $x = 1$

Étape 1

Écrivez ${(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une équation.

$y = {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = {(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez ${(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$y = {(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

$y = 9^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.2.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.2.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3^{1}$

Étape 2.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$y = 3$

Étape 3

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 12 x - 3$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $12 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $12 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.6.3

Placez ${(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.8

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.10

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 + 0)$

Étape 3.12

Simplifiez les termes.

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Étape 3.12.1

Additionnez $12$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 12$

Étape 3.12.2

Associez $\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $12$ .

$\frac{12}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.12.3

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 ({(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{{(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.14

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{6}{{(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.15

Simplifiez

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Étape 3.15.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.15.1.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{6}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.15.1.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.15.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.15.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 3.15.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.15.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 3.15.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{3^{1}}$

Étape 3.15.1.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{6}{3}$

Étape 3.15.2

Divisez $6$ par $3$ .

$2$

Étape 4

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(1, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (1))$

Étape 4.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 1)$

Étape 4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 1)$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - 3 = 2 x - 2$

Étape 4.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - 2 + 3$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$y = 2 x + 1$

Étape 5