Calcul infinitésimal Exemples

$y = x (16 x^{- 2} + 2)$ ; $x = - 2$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 2$ .

$y = (- 2) (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $- 2$ par $16 {(- 2)}^{- 2} + 2$ .

$y = - 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Étape 1.2.2

Simplifiez $- 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = - 2 (16 \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 2)$

Étape 1.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = - 2 (16 (\frac{1}{4}) + 2)$

Étape 1.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = - 2 (4 (4) \frac{1}{4} + 2)$

Étape 1.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = - 2 (4 \cdot 4 \frac{1}{4} + 2)$

Étape 1.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = - 2 (4 + 2)$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.2.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$y = - 2 \cdot 6$

Étape 1.2.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$y = - 12$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = - 12$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 16 x^{- 2} + 2$ .

$x \frac{d}{d x} [16 x^{- 2} + 2] + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{- 2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x (\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$x (16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$x (16 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$x (- 32 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (- 32 x^{- 3} + 0) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.6

Additionnez $- 32 x^{- 3}$ et $0$ .

$x (- 32 x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 32 (x^{1} x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 32 x^{1 - 3} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \cdot 1$

Étape 2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.1

Multipliez $16 x^{- 2} + 2$ par $1$ .

$- 32 x^{- 2} + 16 x^{- 2} + 2$

Étape 2.7.2

Additionnez $- 32 x^{- 2}$ et $16 x^{- 2}$ .

$- 16 x^{- 2} + 2$

Étape 2.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{2}} + 2$

Étape 2.7.3.2

Associez $- 16$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} + 2$

Étape 2.7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{x^{2}} + 2$

Étape 2.8

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$- \frac{16}{{(- 2)}^{2}} + 2$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{16}{4} + 2$

Étape 2.9.1.2

Divisez $16$ par $4$ .

$- 1 \cdot 4 + 2$

Étape 2.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 + 2$

Étape 2.9.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$- 2$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 2$ et un point donné, tel que $(- 2, - 12)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 12) = - 2 \cdot (x - (- 2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 2 \cdot (x + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + 12 = 0 + 0 - 2 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 12 = - 2 x - 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y + 12 = - 2 x - 4$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2 x - 4 - 12$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $12$ de $- 4$ .

$y = - 2 x - 16$

Étape 4