Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (3 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = \frac{π}{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (3 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y$ .

$\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (3 y) (3 y')$

Étape 1.2.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (3 y) (3 y')$ .

$3 \cos (3 y) y'$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 \cos (3 y) y' = 1$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $3 \cos (3 y) y' = 1$ par $3 \cos (3 y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (3 y) y' = 1$ par $3 \cos (3 y)$ .

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (3 y)$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 y)}$

Étape 1.5.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (3 y)}$ à $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{1}{3} \sec (3 y)$

Étape 1.5.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 0$ sur $y = \frac{π}{3}$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{\sec (3 y)}{3}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$\frac{\sec (3 (\frac{π}{3}))}{3}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (3 \frac{π}{3})}{3}$

Étape 1.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sec (π)}{3}$

Étape 1.7.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{- \sec (0)}{3}$

Étape 1.7.3.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Étape 1.7.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Étape 1.7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(0, \frac{π}{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{x}{3}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{3} x) + \frac{π}{3}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{π}{3}$

Étape 3