Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 25$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 25$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $25$ .

$y = 5 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $5 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = 5 {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 5 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 5 \cdot 5^{1} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.4

Évaluez l’exposant.

$y = 5 \cdot 5 + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = 25 + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = 25 + {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 25 + 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$y = 25 + 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$y = 25 + 5^{3}$

Étape 1.2.4.1.9

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$y = 25 + 125$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $25$ et $125$ .

$y = 150$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 25$ et $y = 150$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.9

Associez $5$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Étape 2.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Étape 2.3.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 25$ .

$\frac{3 {(25)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 5^{1}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 5}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.6.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.6.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5^{1}}$

Étape 2.6.1.3.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{10}$

Étape 2.6.1.5

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 2.6.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5 (1)}{10}$

Étape 2.6.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 2.6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 + 1}{2}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.2.2.1

Additionnez $15$ et $1$ .

$\frac{16}{2}$

Étape 2.6.2.2.2

Divisez $16$ par $2$ .

$8$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $8$ et un point donné, tel que $(25, 150)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (150) = 8 \cdot (x - (25))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 150 = 8 \cdot (x - 25)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $8 \cdot (x - 25)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 150 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 25)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 150 = 8 \cdot (x - 25)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 150 = 8 x + 8 \cdot - 25$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $8$ par $- 25$ .

$y - 150 = 8 x - 200$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $150$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8 x - 200 + 150$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 200$ et $150$ .

$y = 8 x - 50$

Étape 4