Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x - 5}{x + 1}$ $x = 0$

Étape 1

Écrivez $\frac{4 x - 5}{x + 1}$ comme une équation.

$y = \frac{4 x - 5}{x + 1}$

Étape 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 0$ .

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Étape 2.1

Remplacez $x$ dans par $0$ .

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4 (0) - 5}{0 + 1}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $\frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = \frac{0 - 5}{0 + 1}$

Étape 2.2.3.1.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$y = \frac{- 5}{0 + 1}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = \frac{- 5}{1}$

Étape 2.2.3.2.2

Divisez $- 5$ par $1$ .

$y = - 5$

Étape 3

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = - 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x - 5$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 5] - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) (4 + 0) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 4 - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x + 1) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 x + 4 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x + 4 - 4 x + 5$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{0 + 4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Additionnez $4$ et $5$ .

$\frac{9}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$\frac{9}{{((0) + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{9}{1^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{9}{1}$

Étape 3.5.2

Divisez $9$ par $1$ .

$9$

Étape 4

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la pente $9$ et un point donné, tel que $(0, - 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = 9 \cdot (x - (0))$

Étape 4.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 5 = 9 \cdot (x + 0)$

Étape 4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + 5 = 9 x$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = 9 x - 5$

Étape 5