Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, - 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = - 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez.

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Étape 1.3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Étape 1.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = - 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $- 2$ dans l’expression.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (- 2)} + \frac{3 (1)}{- 2}$

Étape 1.7.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (- 2)} + \frac{3}{- 2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 \cdot 1}{2 (- 2)} + \frac{3}{- 2}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{- 4} + \frac{3}{- 2}$

Étape 1.7.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3}{- 4} + \frac{3}{- 2}$

Étape 1.7.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4} + \frac{3}{- 2}$

Étape 1.7.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 1.7.5

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.7.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 1.7.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 1.7.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.8.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 3 - 6}{4}$

Étape 1.7.8.2

Soustrayez $6$ de $- 3$ .

$\frac{- 9}{4}$

Étape 1.7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{9}{4}$ et un point donné, tel que $(1, - 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 2 = - \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 = - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{9}{4}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 9}{4} - \frac{9}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{9}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 9}{4} + 1 (\frac{9}{4})$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 9}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$y + 2 = - \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} - 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} - 2 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{9 - 2 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{9 - 8}{4}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $8$ de $9$ .

$y = - \frac{9 x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{9}{4} x) + \frac{1}{4}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{9}{4} x + \frac{1}{4}$

Étape 3