Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x - 4$ , $a = - 1$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = - 1$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (- 1) + f' (- 1) (x - - 1)$

Étape 3

Évaluez $f (- 1)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 4$

Étape 3.2

Simplifiez $2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 4$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 4$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 4$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 2 + 3 - 4$

Étape 3.2.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.3.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 - 4$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 3$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $- 1$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = 2 x^{3} - 3 x - 4$ .

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$6 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 3 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $6 x^{2} - 3$ et $0$ .

$6 x^{2} - 3$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$6 {(- 1)}^{2} - 3$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$6 \cdot 1 - 3$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - 3$

Étape 4.3.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$3$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = - 3 + 3 (x - - 1)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = - 3 + 3 x + 3 \cdot 1$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$L (x) = - 3 + 3 x + 3$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $- 3 + 3 x + 3$ .

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Étape 6.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$L (x) = 3 x + 0$

Étape 6.2.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$L (x) = 3 x$

Étape 7