Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 0$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Étape 3

Évaluez $f (0)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Étape 3.2

Simplifiez $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Étape 3.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1 + \sin (0)$

Étape 3.2.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $0$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.14

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Étape 4.3.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Étape 4.3.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2}{2}$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Soustrayez $0$ de $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Étape 6.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Étape 7