Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \csc (\frac{1}{4} π x + \frac{1}{3} π)$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{4} (π x)$ .

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Étape 3.1.1

Associez $π$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = 4 \csc (\frac{π}{4} x + \frac{1}{3} \cdot π)$

Étape 3.1.2

Associez $\frac{π}{4}$ et $x$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{1}{3} \cdot π)$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $π$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$

Étape 4

Pour tout $y = \csc (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ . Définissez l’intérieur de la fonction cosécante, $b x + c$ , pour $y = a \csc (b x + c) + d$ égal à $0$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{4} = - \frac{π}{3}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Étape 5.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.3.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Étape 5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Étape 5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $\frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{3}$ dans le numérateur.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{3}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Factorisez $π$ à partir de $- π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Étape 5.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = 4 (\frac{- 1}{3})$

Étape 5.3.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{- 1}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 5.3.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 6

Définissez l’intérieur de la fonction cosécante $\frac{π x}{4} + \frac{π}{3}$ égal à $2 π$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 2 π$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 7.1.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.1.3

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 7.1.5.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{5 π}{3}$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 7.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.3.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.3.2.1.1.1

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Étape 7.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Étape 7.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 4 (\frac{5}{3})$

Étape 7.3.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{3}$

Étape 7.3.2.1.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$x = \frac{20}{3}$

Étape 8

La période de base pour $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ se produit sur $(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$ , où $- \frac{4}{3}$ et $\frac{20}{3}$ sont des asymptotes verticales.

$(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$

Étape 9

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 9.1

$\frac{π}{4}$ est d’environ $0.78539816$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{π}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 4$

Étape 9.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$8$

Étape 10

Les asymptotes verticales pour $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ se produisent sur $- \frac{4}{3}$ , $\frac{20}{3}$ et chaque $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$x = - \frac{4}{3} + 4 n$

Étape 11

La cosécante n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ où $n$ est un entier

Étape 12