Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Placez $\frac{e^{- x}}{2}$ du côté droit de l’équation en le soustrayant des deux côtés.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 1.2.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$e^{x} = - e^{- x}$

Étape 1.2.3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $2$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $0$ de $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Étape 4.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Étape 4.5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Étape 4.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Étape 4.7

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.7.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.7.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 4.7.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Étape 4.7.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Étape 4.7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Étape 4.7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Étape 4.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Étape 4.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Étape 4.11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.11.1

Évaluez $e^{x}$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Étape 4.11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Étape 4.11.3

Simplifiez

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Étape 4.11.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Étape 4.11.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Étape 4.11.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Étape 4.11.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Étape 4.11.3.5

Pour écrire $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Étape 4.11.3.6

Associez $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Étape 4.11.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Étape 4.11.3.8

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Étape 4.11.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.11.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Étape 4.11.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Étape 4.11.3.10

Multipliez $e^{2} - 1$ par $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Étape 5

Additionnez les aires $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Étape 5.1.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Étape 5.1.5

Additionnez $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ et $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.6.1

Réécrivez $\frac{1}{e^{2}}$ comme ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Étape 5.1.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.7

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.9

Multipliez $e e$ .

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Étape 5.1.9.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.9.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.10

Pour écrire $e$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Étape 5.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Étape 5.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.12.1

Multipliez $e e$ .

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Étape 5.1.12.1.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Étape 5.1.12.1.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Étape 5.1.12.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Étape 5.1.12.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Étape 5.1.12.2

Réécrivez $e^{2} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 5.1.12.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Étape 5.1.12.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e$ et $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{e^{2} + 1}{e}$ par $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Étape 5.3.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.5

Associez.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Multipliez $e^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Étape 5.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Étape 6