Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Étape 2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2.3

Évaluez la limite.

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Étape 2.3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.2.1

Divisez $\sqrt{1 + 0}$ par $1$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.3.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.1.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.1.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.1.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.2.1

Divisez $- \sqrt{1 + 0}$ par $1$ .

$- \sqrt{1 + 0}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \sqrt{1}$

Étape 3.3.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 1, - 1$

Étape 5

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 1, - 1$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7