Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} + 2 y = 9 x^{2} + 8$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 2 y - 9 x^{2} = 8$

Étape 1.1.2

Déplacez $2 y$ .

$y^{2} - 9 x^{2} + 2 y = 8$

Étape 1.1.3

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $y^{2} + 2 y$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Remplacez $y^{2} + 2 y$ par ${(y + 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$ .

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 8$

Étape 1.4

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8 + 1$

Étape 1.5

Additionnez $8$ et $1$ .

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$

Étape 1.6

Divisez chaque terme par $9$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{9 x^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 1$

$k = - 1$

$h = 0$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{9 + 1}$

Étape 4.3.3

Additionnez $9$ et $1$ .

$\sqrt{10}$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 1 + \sqrt{10})$

Étape 5.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - 1 - \sqrt{10})$

Étape 5.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(0, - 1 + \sqrt{10}), (0, - 1 - \sqrt{10})$

Étape 6