Calcul infinitésimal Exemples

$81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 25$ , $b = - 450$ et $c = 81 x^{2} + 810 x + 2025$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ comme ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 450$ et $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1.3.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3.3

Multipliez $9$ par $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3.4

Multipliez $10$ par $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3.5

Additionnez $- 450$ et $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3.6

Additionnez $90 x$ et $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.3.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.3.7.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $9$ par $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.4.3

Multipliez $- 10$ par $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.5

Soustrayez $450$ de $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.6

Factorisez $90$ à partir de $- 90 x - 900$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $90$ à partir de $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez $90$ à partir de $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.6.3

Factorisez $90$ à partir de $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $90$ par $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.8

Réécrivez $8100 x (- x - 10)$ comme $90^{2} (x (- x - 10))$ .

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Étape 1.3.1.8.1

Réécrivez $8100$ comme $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Étape 1.3.3

Simplifiez $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ comme ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.2

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3

Simplifiez

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Étape 1.4.1.3.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3.3

Multipliez $9$ par $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3.4

Multipliez $10$ par $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3.5

Additionnez $- 450$ et $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3.6

Additionnez $90 x$ et $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.4.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.3.7.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $9$ par $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.4.3

Multipliez $- 10$ par $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.5

Soustrayez $450$ de $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.6

Factorisez $90$ à partir de $- 90 x - 900$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Factorisez $90$ à partir de $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.6.2

Factorisez $90$ à partir de $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.6.3

Factorisez $90$ à partir de $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.7

Multipliez $90$ par $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.8

Réécrivez $8100 x (- x - 10)$ comme $90^{2} (x (- x - 10))$ .

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Étape 1.4.1.8.1

Réécrivez $8100$ comme $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Étape 1.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Étape 1.4.5

Factorisez $9$ à partir de $45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Étape 1.4.5.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ comme ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.2

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3

Simplifiez

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Étape 1.5.1.3.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3.3

Multipliez $9$ par $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3.4

Multipliez $10$ par $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3.5

Additionnez $- 450$ et $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3.6

Additionnez $90 x$ et $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 1.5.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.3.7.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $9$ par $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.4.3

Multipliez $- 10$ par $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.5

Soustrayez $450$ de $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.6

Factorisez $90$ à partir de $- 90 x - 900$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $90$ à partir de $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.6.2

Factorisez $90$ à partir de $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.6.3

Factorisez $90$ à partir de $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.7

Multipliez $90$ par $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $8100 x (- x - 10)$ comme $90^{2} (x (- x - 10))$ .

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Étape 1.5.1.8.1

Réécrivez $8100$ comme $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.8.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Étape 1.5.5

Factorisez $9$ à partir de $45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

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Étape 1.5.5.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$y = \frac{9 (5) - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Étape 1.5.5.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Étape 1.5.5.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})$ .

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$ .

$\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [81 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81 x^{2}$ par rapport à $x$ est $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$81 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $81$ .

$162 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 y^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$162 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$162 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$162 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$162 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$162 x + 25 (2 y y') + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$162 x + 50 y y' + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [810 x]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $810$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $810 x$ par rapport à $x$ est $810 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $810$ par $1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 450 y]$ .

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Étape 3.2.5.1

Comme $- 450$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 450 y$ par rapport à $x$ est $- 450 \frac{d}{d x} [y]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + \frac{d}{d x} [2025]$

Étape 3.2.6

Comme $2025$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2025$ par rapport à $x$ est $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + 0$

Étape 3.2.7

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1

Additionnez $162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$ et $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$

Étape 3.2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y'$

Étape 3.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y' = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $162 x$ des deux côtés de l’équation.

$50 y y' + 810 - 450 y' = - 162 x$

Étape 3.5.1.2

Soustrayez $810$ des deux côtés de l’équation.

$50 y y' - 450 y' = - 162 x - 810$

Étape 3.5.2

Factorisez $50 y'$ à partir de $50 y y' - 450 y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $50 y'$ à partir de $50 y y'$ .

$50 y' y - 450 y' = - 162 x - 810$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $50 y'$ à partir de $- 450 y'$ .

$50 y' y + 50 y' \cdot - 9 = - 162 x - 810$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $50 y'$ à partir de $50 y' y + 50 y' \cdot - 9$ .

$50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ par $50 (y - 9)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ par $50 (y - 9)$ .

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 9$ .

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Étape 3.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 162$ et $50$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 162 x$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50 (y - 9)$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 810$ et $50$ .

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Étape 3.5.3.3.1.3.1

Factorisez $10$ à partir de $- 810$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{50 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $50 (y - 9)$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{10 (5 (y - 9))}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 \cdot - 81}{10 (5 (y - 9))}$

Étape 3.5.3.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 81}{5 (y - 9)}$

Étape 3.5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)} = 0$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $\frac{81}{5 (y - 9)}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{81 x}{25 (y - 9)}}{- 1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{81 x}{25 (y - 9)}}{1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $\frac{81 x}{25 (y - 9)}$ par $1$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$ comme $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Étape 4.3

Multipliez les deux côtés par $25 (y - 9)$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9)) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Simplifiez $\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Étape 4.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Étape 4.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Étape 4.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y - 9$ .

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Étape 4.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Étape 4.4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$81 x = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Simplifiez $- \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5 (y - 9)$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ dans le numérateur.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Étape 4.4.2.1.1.2

Factorisez $5 (y - 9)$ à partir de $25 (y - 9)$ .

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) (5))$

Étape 4.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) \cdot 5)$

Étape 4.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$81 x = - 81 \cdot 5$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $- 81$ par $5$ .

$81 x = - 405$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $81 x = - 405$ par $81$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $81 x = - 405$ par $81$ .

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $81$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Étape 4.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 405}{81}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Divisez $- 405$ par $81$ .

$x = - 5$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $10$ de $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{25})}{5}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{5^{2}})}{5}$

Étape 5.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + 5)}{5}$

Étape 5.2.1.6

Additionnez $5$ et $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 10}{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Multipliez $9$ par $10$ .

$f (- 5) = \frac{90}{5}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $90$ par $5$ .

$f (- 5) = 18$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $18$ .

$18$

Étape 6

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $10$ de $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{25})}{5}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{5^{2}})}{5}$

Étape 6.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 1 \cdot 5)}{5}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 5)}{5}$

Étape 6.2.1.7

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 0}{5}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$f (- 5) = \frac{0}{5}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $0$ par $5$ .

$f (- 5) = 0$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 18, y = 0$

$y = 18, y = 0$

Étape 8