Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.3

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.3.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.3.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $- \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Étape 3.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 3.4.2.6

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ sur $x = π$ .

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Étape 4.1

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Étape 4.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (π) = - 2 + \cos^{2} (π)$

Étape 4.2.1.4

$f (π) = - 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Étape 4.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (π) = - 2 + 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (π) = - 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ est $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Étape 6