Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 8 x + e^{x}$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - 8 x + e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 x + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 8 + e^{x}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 8 + e^{x} = 0$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{x} = 8$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Étape 3.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (8)$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - 8 x + e^{x}$ sur $x = \ln (8)$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (8)$ dans l’expression.

$f (\ln (8)) = - 8 \ln (8) + e^{\ln (8)}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $- 8 \ln (8)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$f (\ln (8)) = - \ln (8^{8}) + e^{\ln (8)}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + e^{\ln (8)}$

Étape 4.2.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + 8$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $- \ln (16777216) + 8$ .

$- \ln (16777216) + 8$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = - 8 x + e^{x}$ est $y = - \ln (16777216) + 8$ .

$y = - \ln (16777216) + 8$

Étape 6