Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 8 x - 11$ et $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 8 x - 11 = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$3 x^{2} + 8 (x) - 11 = 0$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 3$ plus $11$

$3 x^{2} + (- 3 + 11) x - 11 = 0$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 x + 11 x - 11 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 3 x) + 11 x - 11 = 0$

Étape 3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (x - 1) + 11 (x - 1) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 11) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 11 = 0$

Étape 3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.4

Définissez $3 x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $3 x + 11$ égal à $0$ .

$3 x + 11 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $3 x + 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 11$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 11$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 11$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 11}{3}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11}{3}$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (3 x + 11) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{11}{3}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ sur $x = 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{3} + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Étape 4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 11$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 \cdot 1 + 11$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 + 11$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (1) = 5 - 11 + 11$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $11$ de $5$ .

$f (1) = - 6 + 11$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 6$ et $11$ .

$f (1) = 5$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ sur $x = - \frac{11}{3}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{11}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{11}{3}) = {(- \frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{11^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{11^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.3

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{11}{3})}^{2}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (1 (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $\frac{11^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{11^{2}}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.8

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{9}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $4 (\frac{121}{9})$ .

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Étape 5.2.1.10.1

Associez $4$ et $\frac{121}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{4 \cdot 121}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.10.2

Multipliez $4$ par $121$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.11

Multipliez $- 11 (- \frac{11}{3})$ .

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Étape 5.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + 11 (\frac{11}{3}) + 11$

Étape 5.2.1.11.2

Associez $11$ et $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{11 \cdot 11}{3} + 11$

Étape 5.2.1.11.3

Multipliez $11$ par $11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{121}{3} + 11$

Étape 5.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $\frac{484}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{121}{3} + 11$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{484}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} + 11$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $\frac{121}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} \cdot \frac{9}{9} + 11$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $\frac{121}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 11$

Étape 5.2.2.5

Écrivez $11$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $\frac{11}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $\frac{11}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Étape 5.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Étape 5.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{27} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 484 \cdot 3 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $484$ par $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $121$ par $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 11 \cdot 27}{27}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $11$ par $27$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 297}{27}$

Étape 5.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 1331$ et $1452$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{121 + 1089 + 297}{27}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $121$ et $1089$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1210 + 297}{27}$

Étape 5.2.5.3

Additionnez $1210$ et $297$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1507}{27}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{1507}{27}$ .

$\frac{1507}{27}$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ sont $y = 5, y = \frac{1507}{27}$ .

$y = 5, y = \frac{1507}{27}$

Étape 7