Calcul infinitésimal Exemples

$y = | x^{2} - 16 |$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 2.2.3

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Étape 2.2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Étape 2.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Étape 2.2.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 32 x$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Étape 3.2.1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Étape 3.2.1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez.

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Étape 3.2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 3.2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 3.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 3.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = | x^{2} - 16 |$ sur $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = | {(0)}^{2} - 16 |$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = | 0 - 16 |$

Étape 4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f (0) = | - 16 |$

Étape 4.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 16$ et $0$ est $16$ .

$f (0) = 16$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = | x^{2} - 16 |$ est $y = 16$ .

$y = 16$

Étape 6