Calcul infinitésimal Exemples

$4 x + 5 y^{2} - y = 3$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x + 5 y^{2} - y - 3 = 0$

Étape 1.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = - 1$ et $c = 4 x - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (4 x - 3))}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $4$ par $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 20$ par $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.4.1.6

Additionnez $1$ et $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $4$ par $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $- 20$ par $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.1.6

Additionnez $1$ et $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Étape 1.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $4$ par $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $- 20$ par $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.6.1.6

Additionnez $1$ et $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Étape 1.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Étape 1.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x + 5 y^{2} - y = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x + 5 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5 y^{2} - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$4 + 10 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 + 10 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 + 10 y y' - y'$

Étape 3.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 y y' + 4 - y'$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$10 y y' + 4 - y' = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$10 y y' - y' = - 4$

Étape 3.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $10 y y' - y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $10 y y'$ .

$y' (10 y) - y' = - 4$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = - 4$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (10 y - 1) = - 4$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (10 y - 1) = - 4$ par $10 y - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (10 y - 1) = - 4$ par $10 y - 1$ .

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10 y - 1$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4}{10 y - 1}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{10 y - 1}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 4.2

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 5

Aucune solution n’est trouvée en définissant la dérivée égale à $0$ , $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ si bien qu’il n’y a pas de droite tangente horizontale.

Aucune tangente horizontale n’a été trouvée

Étape 6