Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (π x + y)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x + y$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x + y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x + y$ .

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Étape 1.3.3

Différenciez.

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Étape 1.3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.3.3.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.1.1

Simplifiez $3 \cos (π x + y) (π + y')$ .

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Étape 1.5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

Étape 1.5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3 y' \cos (π x + y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ par $1 - 3 \cos (π x + y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ par $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = 0$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Étape 1.7.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Étape 1.7.4.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Étape 1.7.4.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Étape 1.7.4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Étape 1.7.4.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

Étape 1.7.5.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

Étape 1.7.5.3

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

Étape 1.7.5.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

Étape 1.7.5.5

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.7.5.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

Étape 1.7.5.5.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

Étape 1.7.5.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Étape 1.7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 π}{4}$

Étape 2

La droite normale est perpendiculaire à la droite tangente. Prenez la réciproque négative de la pente de la droite tangente afin de déterminer la pente de la droite normale.

$\frac{4}{3 π}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{4}{3 π}$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez $\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Étape 3.3.2.2

Associez $\frac{4}{3 π}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Associez $\frac{4}{3 π}$ et $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

Étape 3.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

Étape 4