Calcul infinitésimal Exemples

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{7 π}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x y + π \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π \sin (y)$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Étape 1.2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Étape 1.3

Comme $83 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $83 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ par $6 x + π \cos (y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ par $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6 x + π \cos (y)$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 4$ sur $y = \frac{7 π}{2}$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $\frac{7 π}{2}$ dans l’expression.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Étape 1.7.3

Associez $6$ et $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Étape 1.7.4.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Étape 1.7.4.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Étape 1.7.4.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

Étape 1.7.4.5

Multipliez $π$ par $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

Étape 1.7.4.6

Additionnez $24$ et $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

Étape 1.7.5

Multipliez $6$ par $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

Étape 1.7.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.7.6.1

Réduisez l’expression $\frac{42 π}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.7.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

Étape 1.7.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

Étape 1.7.6.1.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

Étape 1.7.6.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

Étape 1.7.6.2

Divisez $21 π$ par $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

Étape 1.7.7

Annulez le facteur commun à $21$ et $24$ .

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Étape 1.7.7.1

Factorisez $3$ à partir de $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

Étape 1.7.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

Étape 1.7.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

Étape 1.7.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7 π}{8}$

Étape 2

La droite normale est perpendiculaire à la droite tangente. Prenez la réciproque négative de la pente de la droite tangente afin de déterminer la pente de la droite normale.

$\frac{8}{7 π}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{8}{7 π}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{7 π}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{8}{7 π}$ et $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Associez $\frac{8}{7 π}$ et $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

Étape 3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\frac{7 π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $- \frac{32}{7 π}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

Étape 3.3.3.2

Pour écrire $\frac{7 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Étape 3.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $14 π$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Multipliez $\frac{32}{7 π}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Étape 3.3.3.3.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Étape 3.3.3.3.3

Multipliez $\frac{7 π}{2}$ par $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

Étape 3.3.3.3.4

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

Étape 3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

Étape 3.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.5.1

Multipliez $- 32$ par $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.3

Multipliez $49 π π$ .

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Étape 3.3.3.5.3.1

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.3.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.4

Réécrivez $- 64 + 49 π^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.3.3.5.4.1

Réécrivez $49 π^{2}$ comme ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.4.3

Remettez dans l’ordre $- 8^{2}$ et ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

Étape 3.3.3.5.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7 π$ et $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Étape 3.3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Étape 4