Calcul infinitésimal Exemples

${(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 2$

Étape 1

Écrivez ${(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une équation.

$y = {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 10 x - 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x - 4$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 7.3

Placez ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 9

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 11

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 12

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Étape 13.2

Associez $\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{{(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{5}{{(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{5}{{(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2

Soustrayez $4$ de $20$ .

$\frac{5}{16^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 16.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 16.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4^{1}}$

Étape 16.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{5}{4}$