Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $x = 9$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

Étape 3.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

Étape 3.13.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Étape 3.13.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 3.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 3.13.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

Étape 3.13.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

Étape 3.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 3.14

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Évaluez la dérivée sur $x = 9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 6.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 6.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^{3}}$

Étape 6.1.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 27}$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{54}$

Étape 6.2

Pour écrire $\frac{1}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{54}$

Étape 6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $54$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{9}{6 \cdot 9} - \frac{1}{54}$

Étape 6.3.2

Multipliez $6$ par $9$ .

$\frac{9}{54} - \frac{1}{54}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 - 1}{54}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{8}{54}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $8$ et $54$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (4)}{54}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 27}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 27}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{27}$