Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 2.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 2.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 2.1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 2.1.1.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + \infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 2.1.1.2.3

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 2.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Étape 2.1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Étape 2.1.1.3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - \infty}$

Étape 2.1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.1.3.3.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\frac{\infty}{1 + - \infty}$

Étape 2.1.1.3.3.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.1.1.3.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.1.1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 2.1.2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Étape 2.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Étape 2.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 2^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Étape 2.1.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Étape 2.1.3.5

Additionnez $0$ et $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Étape 2.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Étape 2.1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Étape 2.1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

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Étape 2.1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - \frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Étape 2.1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - 2^{x} \ln (2)}$

Étape 2.1.3.9

Soustrayez $2^{x} \ln (2)$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Étape 2.1.4

Réduisez.

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun de $2^{x}$ .

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Étape 2.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Étape 2.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Étape 2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Étape 2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1}$

Étape 2.1.4.2.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot 1$

Étape 2.2

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1

Évaluez la limite de $- 1 \cdot 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Étape 3.3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + 0}{1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Étape 3.4

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 0}{1 - 0}$

Étape 3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{1 - 0}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5}{1}$

Étape 3.5.3

Divisez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = - 1, 5$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = - 1, 5$

Aucune asymptote oblique

Étape 7