Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ et $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.5.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.5.5

Multipliez $4$ par $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.5.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.5.7

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.1.7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.1.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.1.7.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Étape 1.1.7.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.1.7.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.8.2

Multipliez $4$ par $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.8.3

Multipliez $3$ par $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.8.4

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.4.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.8.4.2

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.4.3

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.5

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.6

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.7.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.7.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.7.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.8.1

Développez $(x + 1) (2 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.8.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.8.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.2.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.2.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.8.2.2

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Étape 1.1.8.10

Additionnez $6 x$ et $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Étape 1.1.8.11

Additionnez $4$ et $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Étape 1.1.8.12

Développez $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.13.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.13.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.13.4.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.13.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.5

Déplacez $16$ à gauche de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.13.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.13.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.8

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.13.10.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.11

Multipliez $2$ par $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.12

Multipliez $16$ par $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.13

Multipliez $5 x^{2}$ par $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.14

Multipliez $18 x$ par $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Étape 1.1.8.13.15

Multipliez $16$ par $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Étape 1.1.8.14

Additionnez $18 x^{3}$ et $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Étape 1.1.8.15

Additionnez $16 x^{2}$ et $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Étape 1.1.8.16

Additionnez $52 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Étape 1.1.8.17

Additionnez $32 x$ et $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{3}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $3$ par $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Comme $57$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $57 x^{2}$ par rapport à $x$ est $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $2$ par $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Comme $50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $50 x$ par rapport à $x$ est $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $50$ par $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Étape 2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.5

Multipliez $42$ par $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.6

Additionnez $- 10$ et $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.7

Multipliez $57$ par $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.8

Soustrayez $57$ de $32$ .

$- 25 + 25$

Étape 2.2.2.1.3.9

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$0$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Étape 2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Étape 2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x^{3} + 10 x^{2}$

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Étape 2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $32 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Étape 2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $32 x^{2} + 32 x$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Étape 2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Étape 2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Étape 2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $25 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Étape 2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Étape 2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $25 x + 25$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Étape 2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Étape 2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Étape 2.2.2.1.6

Écrivez $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $10 x^{2} + 32 x + 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $10 x^{2} + 32 x + 25$ égal à $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 10$ , $b = 32$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 40$ par $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 40$ par $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.4.5

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Étape 2.5.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Étape 2.5.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 40$ par $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $1000$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Étape 2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.5.5

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Étape 2.5.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Étape 2.5.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ vraie.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- 1) = 0^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Étape 3.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (- 1) = 0 {((- 1) + 2)}^{2}$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- 1) = 0 \cdot 1^{2}$

Étape 3.1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- 1) = 0 \cdot 1$

Étape 3.1.2.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (- 1) = 0$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ est $(- 1, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $- 1.35505102$ dans $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.35505102$ dans l’expression.

$f (- 1.35505102) = {((- 1.35505102) + 1)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Additionnez $- 1.35505102$ et $1$ .

$f (- 1.35505102) = {(- 0.35505102)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.2

Élevez $- 0.35505102$ à la puissance $3$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $- 1.35505102$ et $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot {0.64494897}^{2}$

Étape 3.3.2.4

Élevez $0.64494897$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot 0.41595917$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $- 0.04475816$ par $0.41595917$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.01861757$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $- 0.01861757$ .

$- 0.01861757$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1.35505102$ dans $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ est $(- 1.35505102, - 0.01861757)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1.35505102, - 0.01861757)$

Étape 3.5

Remplacez $- 1.84494897$ dans $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.84494897$ dans l’expression.

$f (- 1.84494897) = {((- 1.84494897) + 1)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Additionnez $- 1.84494897$ et $1$ .

$f (- 1.84494897) = {(- 0.84494897)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Étape 3.5.2.2

Élevez $- 0.84494897$ à la puissance $3$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Étape 3.5.2.3

Additionnez $- 1.84494897$ et $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot {0.15505102}^{2}$

Étape 3.5.2.4

Élevez $0.15505102$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot 0.02404082$

Étape 3.5.2.5

Multipliez $- 0.60324183$ par $0.02404082$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.01450242$

Étape 3.5.2.6

La réponse finale est $- 0.01450242$ .

$- 0.01450242$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $- 1.84494897$ dans $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ est $(- 1.84494897, - 0.01450242)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1.84494897, - 0.01450242)$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 1, 0), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1.84494897, - 0.01450242)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1.84494897) \cup (- 1.84494897, - 1.35505102) \cup (- 1.35505102, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1.84494897)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.94494897$ dans l’expression.

$f'' (- 1.94494897) = 20 {(- 1.94494897)}^{3} + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.94494897$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 \cdot - 7.35740454 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 7.35740454$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 1.94494897$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 \cdot 3.78282651 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $84$ par $3.78282651$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $114$ par $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 - 221.72418306 + 50$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 147.1480909$ et $317.75742705$ .

$f'' (- 1.94494897) = 170.60933614 - 221.72418306 + 50$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $221.72418306$ de $170.60933614$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 51.11484692 + 50$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 51.11484692$ et $50$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 1.11484692$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 1.11484692$ .

$- 1.11484692$

Étape 5.3

Sur $- 1.94494897$ , la dérivée seconde est $- 1.11484692$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 1.84494897)$

Diminue sur $(- \infty, - 1.84494897)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.6$ dans l’expression.

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.6$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1.6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $84$ par $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $114$ par $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 81.92$ et $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $182.4$ de $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 49.28$ et $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.72$ .

$0.72$

Étape 6.3

Sur $- 1.6$ , la dérivée seconde est $0.72$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ .

Augmente sur $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1.35505102, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.17752551$ dans l’expression.

$f'' (- 1.17752551) = 20 {(- 1.17752551)}^{3} + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 1.17752551$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 \cdot - 1.63271723 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 1.63271723$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 1.17752551$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 \cdot 1.38656633 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $84$ par $1.38656633$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $114$ par $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 - 134.23790846 + 50$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 32.65434465$ et $116.471572$ .

$f'' (- 1.17752551) = 83.81722735 - 134.23790846 + 50$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $134.23790846$ de $83.81722735$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 50.42068111 + 50$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $- 50.42068111$ et $50$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 0.42068111$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.42068111$ .

$- 0.42068111$

Étape 7.3

Sur $- 1.17752551$ , la dérivée seconde est $- 0.42068111$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 1.35505102, - 1)$

Diminue sur $(- 1.35505102, - 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.9$ dans l’expression.

$f'' (- 0.9) = 20 {(- 0.9)}^{3} + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $- 0.9$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot - 0.729 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 0.729$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Étape 8.2.1.3

Élevez $- 0.9$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 \cdot 0.81 + 114 (- 0.9) + 50$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $84$ par $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 + 114 (- 0.9) + 50$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $114$ par $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 - 102.6 + 50$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 14.58$ et $68.04$ .

$f'' (- 0.9) = 53.46 - 102.6 + 50$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $102.6$ de $53.46$ .

$f'' (- 0.9) = - 49.14 + 50$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $- 49.14$ et $50$ .

$f'' (- 0.9) = 0.86$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.86$ .

$0.86$

Étape 8.3

Sur $- 0.9$ , la dérivée seconde est $0.86$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$ .

$(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$

Étape 10