Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(4 - 2 x)}^{2}$ comme $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

Étape 1.1.2

Développez $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

Étape 1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Étape 1.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Étape 1.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - 16 x + 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.6

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.9

Multipliez $2$ par $4$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

Étape 1.1.5.11

Déplacez $2$ à gauche de $16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.4.1

Déplacez $- 16$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.4.2.1

Déplacez $x$ .

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.3

Déplacez $8$ à gauche de $x^{3}$ .

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.4

Multipliez $2$ par $16$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.5

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

Étape 1.1.6.4.10

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

Étape 1.1.6.4.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

Étape 1.1.6.4.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

Étape 1.1.6.4.13

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

Étape 1.1.6.4.14

Soustrayez $32 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

Étape 1.1.6.4.15

Additionnez $8 x^{3}$ et $8 x^{3}$ .

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

Étape 1.1.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $32$ par $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $16$ à partir de $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $48 x^{2}$ .

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $16$ à partir de $- 96 x$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $16$ à partir de $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ par $16$ .

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 6 x + 2$ par $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $16$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 6$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.3

Soustrayez $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $1.57735026$ dans $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1.57735026$ dans l’expression.

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Élevez $1.57735026$ à la puissance $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

Étape 3.1.2.3

Soustrayez $3.15470053$ de $4$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

Étape 3.1.2.4

Élevez $0.84529946$ à la puissance $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

Étape 3.1.2.5

Multipliez $2.48803387$ par $0.71453117$ .

$f (1.57735026) = 1.77777777$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $1.77777777$ .

$1.77777777$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $1.57735026$ dans $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ est $(1.57735026, 1.77777777)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1.57735026, 1.77777777)$

Étape 3.3

Remplacez $0.42264973$ dans $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.42264973$ dans l’expression.

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Élevez $0.42264973$ à la puissance $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $0.84529946$ de $4$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

Étape 3.3.2.4

Élevez $3.15470053$ à la puissance $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $0.17863279$ par $9.95213548$ .

$f (0.42264973) = 1.77777777$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $1.77777777$ .

$1.77777777$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $0.42264973$ dans $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ est $(0.42264973, 1.77777777)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.42264973, 1.77777777)$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0.42264973)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.32264973$ dans l’expression.

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $0.32264973$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $48$ par $0.10410284$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 96$ par $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $30.97437415$ de $4.99693674$ .

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 25.97743741$ et $32$ .

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $6.02256258$ .

$6.02256258$

Étape 5.3

Sur $0.32264973$ , la dérivée seconde est $6.02256258$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0.42264973)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0.42264973)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.42264973, 1.57735026)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $48$ par $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 96$ par $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Soustrayez $96$ de $48$ .

$f'' (1) = - 48 + 32$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 48$ et $32$ .

$f'' (1) = - 16$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 6.3

Sur $1$ , la dérivée seconde est $- 16$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0.42264973, 1.57735026)$

Diminue sur $(0.42264973, 1.57735026)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1.57735026, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.67735026$ dans l’expression.

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $1.67735026$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $48$ par $2.81350392$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 96$ par $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $161.02562584$ de $135.04818842$ .

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 25.97743741$ et $32$ .

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $6.02256258$ .

$6.02256258$

Étape 7.3

Sur $1.67735026$ , la dérivée seconde est $6.02256258$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1.57735026, \infty)$ .

Augmente sur $(1.57735026, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ .

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

Étape 9