Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 - 5 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Étape 1.1.3.9

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $x {(2 - 5 x)}^{2}$ à partir de $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez $x {(2 - 5 x)}^{2}$ à partir de $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Étape 1.1.4.1.2

Factorisez $x {(2 - 5 x)}^{2}$ à partir de $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.1.3

Factorisez $x {(2 - 5 x)}^{2}$ à partir de $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.2

Déplacez $- 15$ à gauche de $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.3

Réécrivez ${(2 - 5 x)}^{2}$ comme $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ .

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.4

Développez $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5.1.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5.1.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.5.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.7

Simplifiez

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Étape 1.1.4.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.8.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.8.1.1

Déplacez $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.8.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.8.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.8.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.4.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.8.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Étape 1.1.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Étape 1.1.4.9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Étape 1.1.4.9.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Étape 1.1.4.10

Soustrayez $10 x$ de $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Étape 1.1.4.11

Développez $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.2.1

Déplacez $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.3

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.6.1

Déplacez $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.12.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.7

Multipliez $- 20$ par $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.8

Multipliez $4$ par $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.10

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.10.1

Déplacez $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.10.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.1.4.12.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.10.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.11

Multipliez $25$ par $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Étape 1.1.4.12.12

Multipliez $4$ par $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Étape 1.1.4.13

Soustrayez $80 x^{2}$ de $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Étape 1.1.4.14

Additionnez $500 x^{3}$ et $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 180$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 180 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 180$ .

$- 360 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 360 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$- 360 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 625$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 625 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $4$ par $- 625$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Étape 1.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.5.1

Comme $600$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $600 x^{3}$ par rapport à $x$ est $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $3$ par $600$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

Étape 1.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 2500 x^{3}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $1800 x^{2}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) - 360 x + 16 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 360 x$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 16 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2})$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4) = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Étape 2.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez $0.4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.4$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Remplacez $0.4$ dans le polynôme.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $0.4$ à la puissance $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.3

Multipliez $- 625$ par $0.064$ .

$- 40 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.4

Élevez $0.4$ à la puissance $2$ .

$- 40 + 450 \cdot 0.16 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.5

Multipliez $450$ par $0.16$ .

$- 40 + 72 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.6

Additionnez $- 40$ et $72$ .

$32 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.7

Multipliez $- 90$ par $0.4$ .

$32 - 36 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.8

Soustrayez $36$ de $32$ .

$- 4 + 4$

Étape 2.2.2.1.3.9

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $0.4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $5 x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4}{5 x - 2}$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ par $5 x - 2$ .

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Étape 2.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$450 x^{2}$

$90 x$

$4$

Étape 2.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 625 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$

Étape 2.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$

Étape 2.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Étape 2.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $200 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Étape 2.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					+	$200 x^{2}$	-	$80 x$

Étape 2.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $200 x^{2} - 80 x$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$

Étape 2.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$

Étape 2.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Étape 2.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Étape 2.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	+	$4$

Étape 2.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x + 4$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$
										$0$

Étape 2.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 125 x^{2} + 40 x - 2$

Étape 2.2.2.1.6

Écrivez $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $5 x - 2$ égal à $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $5 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 2$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 2$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Étape 2.5

Définissez $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ égal à $0$ .

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = - 125$ , $b = 40$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 125 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $500$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $1000$ de $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $600$ comme $10^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $500$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $1000$ de $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $600$ comme $10^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Étape 2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Étape 2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1.1

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $500$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $1000$ de $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $600$ comme $10^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $100$ à partir de $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Étape 2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Étape 2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{5}, \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{2}{5}$ dans $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{2} {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{2}}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 (- 1) (\frac{2}{5}))}^{3}$

Étape 3.1.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 \cdot (- 1 (\frac{2}{5})))}^{3}$

Étape 3.1.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{3}$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0^{3}$

Étape 3.1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0$

Étape 3.1.2.3.3

Multipliez $\frac{4}{25}$ par $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = 0$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{2}{5}$ dans $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ est $(\frac{2}{5}, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{2}{5}, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $0.25797958$ dans $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.25797958$ dans l’expression.

$f (0.25797958) = {(0.25797958)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Élevez $0.25797958$ à la puissance $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 5$ par $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 1.28989794)}^{3}$

Étape 3.3.2.3

Soustrayez $1.28989794$ de $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot {0.71010205}^{3}$

Étape 3.3.2.4

Élevez $0.71010205$ à la puissance $3$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot 0.35806535$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $0.06655346$ par $0.35806535$ .

$f (0.25797958) = 0.02383049$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $0.02383049$ .

$0.02383049$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $0.25797958$ dans $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ est $(0.25797958, 0.02383049)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.25797958, 0.02383049)$

Étape 3.5

Remplacez $0.06202041$ dans $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.06202041$ dans l’expression.

$f (0.06202041) = {(0.06202041)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Élevez $0.06202041$ à la puissance $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 5$ par $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 0.31010205)}^{3}$

Étape 3.5.2.3

Soustrayez $0.31010205$ de $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot {1.68989794}^{3}$

Étape 3.5.2.4

Élevez $1.68989794$ à la puissance $3$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot 4.82593464$

Étape 3.5.2.5

Multipliez $0.00384653$ par $4.82593464$ .

$f (0.06202041) = 0.0185631$

Étape 3.5.2.6

La réponse finale est $0.0185631$ .

$0.0185631$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $0.06202041$ dans $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ est $(0.06202041, 0.0185631)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.06202041, 0.0185631)$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{2}{5}, 0), (0.25797958, 0.02383049), (0.06202041, 0.0185631)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0.06202041) \cup (0.06202041, 0.25797958) \cup (0.25797958, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0.06202041)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.03797958$ dans l’expression.

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 {(- 0.03797958)}^{3} + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.03797958$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 \cdot - 0.00005478 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2500$ par $- 0.00005478$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 0.03797958$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 \cdot 0.00144244 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $1800$ par $0.00144244$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 + 13.67265229 + 16$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0.13695907$ et $2.59640862$ .

$f'' (- 0.03797958) = 2.73336769 + 13.67265229 + 16$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $2.73336769$ et $13.67265229$ .

$f'' (- 0.03797958) = 16.40601999 + 16$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $16.40601999$ et $16$ .

$f'' (- 0.03797958) = 32.40601999$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $32.40601999$ .

$32.40601999$

Étape 5.3

Sur $- 0.03797958$ , la dérivée seconde est $32.40601999$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 0.06202041)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0.06202041)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.06202041, 0.25797958)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.15\overline{9}$ dans l’expression.

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 {(0.15\overline{9})}^{3} + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.15\overline{9}$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 \cdot 0.004096 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2500$ par $0.004096$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Étape 6.2.1.3

Élevez $0.15\overline{9}$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 \cdot 0.0256 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $1800$ par $0.0256$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 57.6 + 16$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 10.24$ et $46.08$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = 35.84 - 57.6 + 16$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $57.6$ de $35.84$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 21.76 + 16$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 21.76$ et $16$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 5.76$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 5.76$ .

$- 5.76$

Étape 6.3

Sur $0.15\overline{9}$ , la dérivée seconde est $- 5.76$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0.06202041, 0.25797958)$

Diminue sur $(0.06202041, 0.25797958)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.25797958, \frac{2}{5})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.32898979$ dans l’expression.

$f'' (0.32898979) = - 2500 {(0.32898979)}^{3} + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.32898979$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 \cdot 0.03560797 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2500$ par $0.03560797$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Étape 7.2.1.3

Élevez $0.32898979$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 \cdot 0.10823428 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $1800$ par $0.10823428$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 118.43632614 + 16$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 89.01993814$ et $194.82171321$ .

$f'' (0.32898979) = 105.80177507 - 118.43632614 + 16$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $118.43632614$ de $105.80177507$ .

$f'' (0.32898979) = - 12.63455107 + 16$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $- 12.63455107$ et $16$ .

$f'' (0.32898979) = 3.36544892$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3.36544892$ .

$3.36544892$

Étape 7.3

Sur $0.32898979$ , la dérivée seconde est $3.36544892$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0.25797958, \frac{2}{5})$ .

Augmente sur $(0.25797958, \frac{2}{5})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{2}{5}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f'' (0.5) = - 2500 {(0.5)}^{3} + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.5) = - 2500 \cdot 0.125 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2500$ par $0.125$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Étape 8.2.1.3

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 \cdot 0.25 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $1800$ par $0.25$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 180 + 16$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 312.5$ et $450$ .

$f'' (0.5) = 137.5 - 180 + 16$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $180$ de $137.5$ .

$f'' (0.5) = - 42.5 + 16$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $- 42.5$ et $16$ .

$f'' (0.5) = - 26.5$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 26.5$ .

$- 26.5$

Étape 8.3

Sur $0.5$ , la dérivée seconde est $- 26.5$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{2}{5}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{2}{5}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$ .

$(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$

Étape 10