Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 5 - x^{\frac{4}{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 - x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Étape 1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Étape 1.1.2.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$0 - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Étape 1.1.2.9

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Étape 1.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Étape 1.2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Étape 1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Étape 1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Étape 1.2.9

Associez $x^{- \frac{6}{5}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Étape 1.2.10

Multipliez.

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Étape 1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5}) \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Étape 1.2.11

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Étape 1.2.12

Multipliez.

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Étape 1.2.12.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Étape 1.2.12.2

Placez $x^{- \frac{6}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 2.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion