Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x \cos (x)$ , $(π, - 2 π)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = π$ et $y = - 2 π$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Étape 1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = π$ .

$- 2 π \sin (π) + 2 \cos (π)$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 2 π \sin (0) + 2 \cos (π)$

Étape 1.7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 π \cdot 0 + 2 \cos (π)$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $- 2 π \cdot 0$ .

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Étape 1.7.1.3.1

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$0 π + 2 \cos (π)$

Étape 1.7.1.3.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$0 + 2 \cos (π)$

Étape 1.7.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$0 + 2 (- \cos (0))$

Étape 1.7.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.7.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 2$ et un point donné, tel que $(π, - 2 π)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 π) = - 2 \cdot (x - (π))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 2 \cdot (x - π)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 π = 0 + 0 - 2 \cdot (x - π)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 π = - 2 x - 2 (- π)$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y + 2 π = - 2 x + 2 π$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2 π$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2 x + 2 π - 2 π$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $- 2 x + 2 π - 2 π$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π$ .

$y = - 2 x + 0$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$y = - 2 x$

Étape 3