Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \sqrt{x}$ , $(9, 27)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 9$ et $y = 27$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Étape 1.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.9

Évaluez la dérivée sur $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.10.1.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.10.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Étape 1.10.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.10.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Étape 1.10.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2}$

Étape 1.10.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{1 + 1}}{2}$

Étape 1.10.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3^{2}}{2}$

Étape 1.10.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{9}{2}$ et un point donné, tel que $(9, 27)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (27) = \frac{9}{2} \cdot (x - (9))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{9}{2} \cdot (x - 9)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 27 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 27 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{9}{2}$ et $x$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{9}{2} \cdot - 9$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{9}{2}$ et $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 9}{2}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81}{2}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 27 = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $27$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 27 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $27$ par $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 54}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 81$ et $54$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{2}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{27}{2}$

Étape 3