Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\frac{1}{5} x)$ ; $(5, \frac{π}{4})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = \frac{π}{4}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{1}{5} x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{5} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Étape 1.2.3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Étape 1.2.6

Multipliez $\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{5 (1 + \frac{x^{2}}{5^{2}})}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5 \cdot 1 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Étape 1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Étape 1.3.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{25}}$

Étape 1.3.3.3

Associez $5$ et $\frac{x^{2}}{25}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{25}}$

Étape 1.3.3.4

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

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Étape 1.3.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 (x^{2})}{25}}$

Étape 1.3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Étape 1.3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Étape 1.3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5 + \frac{x^{2}}{5}}$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5}$

Étape 1.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.5.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 1.3.5.2

Associez $5$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Étape 1.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Étape 1.3.5.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 25}{5}}$

Étape 1.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{5}{x^{2} + 25}$

Étape 1.3.7

Multipliez $\frac{5}{x^{2} + 25}$ par $1$ .

$\frac{5}{x^{2} + 25}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 5$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{5}{25 + 25}$

Étape 1.5.1.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{5}{50}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun à $5$ et $50$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (1)}{50}$

Étape 1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Étape 1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{10}$ et un point donné, tel que $(5, \frac{π}{4})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{10} \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{10} \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{10}$ et $x$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 (2)} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Étape 2.3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 2 + π}{4}$

Étape 2.3.3.4

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $π$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

Étape 2.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

Étape 2.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x}{10} - \frac{2 - π}{4}$

Étape 2.3.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{10} x - \frac{2 - π}{4}$

Étape 3