Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ et $y = 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Étape 1.1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$0 - \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Soustrayez $\csc^{2} (x)$ de $0$ .

$- \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{2}$ .

$2 \cot (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.6.1.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.6.1.5

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 - 1^{2}$

Étape 1.6.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.6.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{2}, 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 5 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = - 1 x - 1 (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 5 = - x - 1 (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 5 = - x + 1 \frac{π}{2}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$y - 5 = - x + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + \frac{π}{2} + 5$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - x + \frac{π + 5 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = - x + \frac{π + 10}{2}$

Étape 3