Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 7}$ ; $(2, \frac{4}{9})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \frac{4}{9}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 7$ .

$\frac{2 \cdot (x + 7) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 14 x$ .

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $14 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 14$ .

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{(2) ((2) + 14)}{{((2) + 7)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $2$ et $14$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(2 + 7)}^{2}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $2$ et $7$ .

$\frac{2 \cdot 16}{9^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{81}$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32}{81}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{32}{81}$ et un point donné, tel que $(2, \frac{4}{9})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{4}{9}) = \frac{32}{81} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{32}{81} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 + \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} x + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{32}{81}$ et $x$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{32}{81} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{32}{81}$ et $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32 \cdot - 2}{81}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $32$ par $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64}{81}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{4}{9}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{4}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $81$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{81}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 4 \cdot 9}{81}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 36}{81}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 64$ et $36$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 28}{81}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{28}{81}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{32}{81} x - \frac{28}{81}$

Étape 3