Calcul infinitésimal Exemples

$y = arcsec (6 x)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ et $y = \frac{π}{4}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $arcsec (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $6 (x)$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{6^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.4.1

Associez $6$ et $\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Étape 1.2.6

Multipliez $\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{6}) \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{6}$ et $\sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}{6}}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{1}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.5

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 1.4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (2 - 1)}}{6}}$

Étape 1.4.2.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 \cdot 1}}{6}}$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{6}}$

Étape 1.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{6}{\sqrt{2}}$

Étape 1.4.5

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}}$

Étape 1.4.6

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.7.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.8

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 1.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 1.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 1.4.8.2.4

Divisez $3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$3 \sqrt{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $3 \sqrt{2}$ et un point donné, tel que $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{\sqrt{2}}{6}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{6})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ dans le numérateur.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Étape 2.3.1.4.3

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{3 (2)}$

Étape 2.3.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.1.5

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 2.3.1.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Étape 2.3.1.7

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Étape 2.3.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 2.3.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Étape 2.3.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.10.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.3.1.10.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 2.3.1.10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 2.3.1.10.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 2.3.1.10.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.10.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 2.3.1.10.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{1}}{2}$

Étape 2.3.1.10.1.5

Évaluez l’exposant.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.1.10.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.1.10.3

Divisez $- 2$ par $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x - 1$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 + \frac{π}{4}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.3.3.2

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4 + π}{4}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 4 + π}{4}$

Étape 2.3.3.5

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) + π}{4}$

Étape 2.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $π$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) - 1 (- π)}{4}$

Étape 2.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - 1 (- π)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4 - π)}{4}$

Étape 2.3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 3 \sqrt{2} x - \frac{4 - π}{4}$

Étape 3