Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{1}{x^{3}}$ , $(- 2, \frac{1}{8})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = \frac{1}{8}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{x^{3}}$ par $0$ .

$3 x^{- 4} + 0$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $3 x^{- 4}$ et $0$ .

$3 x^{- 4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{x^{4}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$\frac{3}{{(- 2)}^{4}}$

Étape 1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$\frac{3}{16}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{3}{16}$ et un point donné, tel que $(- 2, \frac{1}{8})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{8}) = \frac{3}{16} \cdot (x - (- 2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3}{16} \cdot (x + 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{3}{16} \cdot (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{8} = 0 + 0 + \frac{3}{16} \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3}{16} \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3}{16} x + \frac{3}{16} \cdot 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{3}{16}$ et $x$ .

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \cdot 2$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{2 (8)} \cdot 2$

Étape 2.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{2 \cdot 8} \cdot 2$

Étape 2.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{8}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{3 + 1}{8}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4}{8}$

Étape 2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 2.3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4 (1)}{8}$

Étape 2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3}{16} x + \frac{1}{2}$

Étape 3