Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - y^{2} = 36$ , $(6, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 6$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - (2 y y')$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x - 2 y y'$

Étape 1.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 2 x$

Étape 1.3

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' + 2 x = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' = - 2 x$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y y' = - 2 x$ par $- 2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y y' = - 2 x$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 6$ sur $y = 0$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$\frac{6}{y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{6}{0}$

Étape 1.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 2

La pente de la droite est indéfinie, ce qui signifie qu’elle est perpendiculaire à l’abscisse sur $x = 6$ .

$x = 6$

Étape 3