Calcul infinitésimal Exemples

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \frac{π}{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Étape 1.2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Étape 1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Étape 1.5.2

Soustrayez $\cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ par $- x \sin (y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ par $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 1.5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 1.5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 1.5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Étape 1.5.3.3.2

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Étape 1.5.3.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ à $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Étape 1.5.3.3.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = \frac{π}{3}$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{\cot (y)}{2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

Étape 1.7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

Étape 1.7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

Étape 1.7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.7.5

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{\sqrt{3}}{6}$ et un point donné, tel que $(2, \frac{π}{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $\frac{\sqrt{3}}{6}$ et $x$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $- 1$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

Étape 2.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

Étape 2.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $π$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

Étape 2.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

Étape 2.3.3.5

Réécrivez $- (\sqrt{3} - π)$ comme $- 1 (\sqrt{3} - π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

Étape 2.3.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Étape 2.3.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Étape 3